Тензор энергии-импульса для фермионного лагранжиана в искривленном пространстве-времени — какой появляется в EFE?

$\require{cancel}$I) OP рассматривает фермионы Дирака в искривленном пространстве-времени. Действие OP имеет различные недостатки. Правильное действие гласит$^1$

$$S~=~\int\!d^nx~ {\cal L}, \qquad {\cal L} ~=~e L, \qquad L~=~T-V,\qquad e~:=~\det(e^a{}_{\mu})~=~\sqrt{|g|},$$ $$T~=~\frac{i}{2} \bar{\psi} \stackrel{\leftrightarrow}{\cancel{\nabla}} \psi, \qquad V~=~ \alpha j^a \eta_{ab} j^b, \qquad j^a~:=~ \bar{\psi} \gamma^a\psi,\qquad \bar{\psi}~:=~\psi^{\dagger}\gamma^0,$$ $$\bar{\psi}\stackrel{\leftrightarrow}{\cancel{\nabla}}\psi ~:=~ \bar{\psi}\stackrel{\leftrightarrow}{\cancel{\partial}}\psi +\frac{1}{2} \omega_{c, ab}~\gamma^{cab}\psi ~=~\bar{\psi}\left[\gamma^c\stackrel{\rightarrow}{\nabla_c} -\stackrel{\leftarrow}{\nabla_c}\gamma^c\right]\psi,$$ $$\stackrel{\rightarrow}{\nabla_c}\psi ~:=~ \stackrel{\rightarrow}{\partial_c}\psi +\frac{1}{4} \omega_{c, ab}~\gamma^{ab}\psi, \qquad \bar{\psi}\stackrel{\leftarrow}{\nabla_c} ~:=~ \bar{\psi}\stackrel{\leftarrow}{\partial_c} -\frac{1}{4} \bar{\psi}~\gamma^{ab}\omega_{c, ab},$$ $$\stackrel{\leftrightarrow}{\cancel{\partial}} ~:=~ \gamma^c\stackrel{\rightarrow}{\partial_c} - \stackrel{\leftarrow}{\partial_c}\gamma^c, \qquad \stackrel{\rightarrow}{\partial_c}~:=~E^{\mu}{}_c \stackrel{\rightarrow}{\partial_{\mu}}, \qquad \stackrel{\leftarrow}{\partial_c}~:=~ \stackrel{\leftarrow}{\partial_{\mu}}E^{\mu}{}_c,$$ $$\partial_{\mu}~:=~\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}, \qquad \gamma^{ab}~:=~\frac{1}{2}[\gamma^a,\gamma^b], \qquad \gamma^{abc}~:=~\frac{1}{2}\{\gamma^a,\gamma^{bc}\}_+. \tag{1}$$

II) Суть в том, что для того, чтобы записать ковариантный кинетический член для фермиона Дирака в искривленном пространстве-времени, мы должны использовать ковариантную производную$\nabla_{\mu}\psi$спинора$\psi$, а значит, нам нужна спиновая связь $\omega_{\mu}{}^a{}_b$. В свою очередь, нам нужен вильбейн

$$g_{\mu\nu}~=~e^a{}_{\mu} ~\eta_{ab}~e^b{}_{\nu}, \qquad e^a{}_{\mu}~ E^{\mu}{}_b~=~\delta^a_b, \qquad E^{\mu}{}_a~e^a{}_{\nu}~=~\delta^{\mu}_{\nu}, \tag{2}$$

который (будем для простоты считать) ковариантно сохраняется

$$0~=~(\nabla_{\mu}e)^{a}{}_{\nu}~=~\partial_{\mu}e^{a}{}_{\nu} +\omega_{\mu}{}^a{}_b ~e^b{}_{\nu}- e^a{}_{\lambda}~\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}.\tag{3}$$

Следовательно, спиновая связь полностью определена

$$2\omega_{\mu, ab}~=~2\left(-\partial_{\mu}e_{a\nu} +e_{a\lambda}~\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}\right)E^{\nu}{}_b ~=~-\left(\partial_{\mu}e_{a\nu} +\partial_a g_{\mu\nu}\right)E^{\nu}{}_b -(a\leftrightarrow b)$$ $$~=~-\partial_{\mu}e_{a\nu}~E^{\nu}{}_b-\partial_a e_{b\mu} + g_{\mu\nu}~\partial_a E^{\nu}{}_b -(a\leftrightarrow b),\tag{4}$$

а также

$$2\omega_{c, ab}~:=~2E^{\mu}{}_c~\omega_{\mu, ab} ~=~-f_{cab}-f_{abc}-f_{acb}-(a\leftrightarrow b), \tag{5}$$

где мы определили

$$f_{abc}~:=~\partial_a e_{b\nu}~E^{\nu}{}_c . \tag{6}$$

III) Кинетический член становится

$$T~=~\frac{i}{2}\bar{\psi}\stackrel{\leftrightarrow}{\cancel{\nabla}}\psi ~=~\frac{i}{2}\bar{\psi}\stackrel{\leftrightarrow}{\cancel{\partial}}\psi -\frac{i}{4}\bar{\psi}~f_{abc}~\gamma^{cab}~\psi$$ $$~=~\frac{i}{2}\bar{\psi}\left[\gamma^c~E^{\mu}{}_c\stackrel{\rightarrow}{\partial_{\mu}} -\stackrel{\leftarrow}{\partial_{\mu}}E^{\mu}{}_c~\gamma^c \right]\psi -\frac{i}{4}\bar{\psi}~E^{\mu}{}_a~\partial_{\mu} e_{b\nu}~E^{\nu}{}_c ~\gamma^{cab}~\psi. \tag{7}$$

IV) Естественное обобщение тензора Гильберта SEM

$$T^{\mu\nu}~=~- \frac{2}{\sqrt{|g|}}\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}, \qquad T_{\mu\nu}~=~\frac{2}{\sqrt{|g|}}\frac{\delta S}{\delta g^{\mu\nu}},\qquad(\leftarrow\text{Not applicable!})\qquad \tag{8}$$

фермионам дается формулой

$$T^{\mu\nu}~=~-\frac{E^{\mu c}}{2e}\frac{\delta S}{\delta e^c{}_{\nu}}+(\mu\leftrightarrow \nu), \qquad T_{\mu\nu}~=~\frac{e_{c\mu}}{2e}\frac{\delta S}{\delta E^{\nu}{}_c}+(\mu\leftrightarrow \nu).\tag{9}$$

Формула (9) сводится к стандартному тензору Гильберта SEM (8), если действие зависит от репертуара только через метрику (2). Однако формула (9) является более общей и необходимой в случае фермионов в искривленном пространстве-времени.

V) Тогда тензор Гильберта SEM с плоскими индексами становится

$$T_{cd}~:=~ E^{\mu}{}_c~ T_{\mu\nu} ~E^{\nu}{}_d~\stackrel{(9)}{=}~-\frac{e_{c\nu}}{2e}\frac{\delta S}{\delta e^d{}_{\nu}} +(c\leftrightarrow d) ~=~\frac{E^{\nu}{}_c}{2e}\frac{\delta S}{\delta E^{\nu d}} +(c\leftrightarrow d)$$ $$~\stackrel{(7)}{=}~\frac{i}{4}\bar{\psi}\left[\gamma_c\stackrel{\rightarrow}{\partial_d} -\stackrel{\leftarrow}{\partial_c}\gamma_d +\frac{1}{2} (f_{cba}-f_{abc}-f_{acb})~\gamma_d{}^{ab} \right]\psi -\frac{1}{2}\eta_{cd}L+(c\leftrightarrow d)$$ $$~\stackrel{(5)}{=}~\frac{i}{4}\bar{\psi}\left[\gamma_c\stackrel{\rightarrow}{\partial_d} -\stackrel{\leftarrow}{\partial_c}\gamma_d +\frac{1}{2} \omega_{c,ab}~\gamma_d{}^{ab} \right]\psi -\frac{1}{2}\eta_{cd}L+(c\leftrightarrow d)$$ $$~\stackrel{(1)}{=}~\frac{i}{4}\bar{\psi}\left[\gamma_c\stackrel{\rightarrow}{\nabla_d} -\stackrel{\leftarrow}{\nabla_c}\gamma_d\right]\psi -\frac{1}{2}\eta_{cd}L+(c\leftrightarrow d). \tag{10}$$

уравнение (10) представляет собой формулу для (обобщенного) тензора Гильберта SEM фермиона Дирака в искривленном пространстве-времени. Это подходящий термин для источника материи в EFE , ср . Заглавный вопрос OP (v3). Подробнее см. также мои ответы Phys.SE здесь и здесь .

--

$^1$Можно показать, что лагранжева плотность (1) действительна, используя

$$(\gamma^a)^{\dagger}~=~ \gamma^0\gamma^a\gamma^0,\qquad (\gamma^0)^2~=~{\bf 1}.\tag{11}$$

Условные обозначения: в этом ответе мы будем использовать$(+,-,-,-)$Соглашение о знаках Минковского и алгебра Клиффорда

$$\{\gamma^a,\gamma^b\}_+~=~2\eta^{ab}{\bf 1}.\tag{12}$$

Греческие индексы$\mu,\nu,\lambda, \ldots,$являются так называемыми кривыми индексами, а римские индексы$a,b,c, \ldots,$так называемые плоские индексы.

Как отметил @Holographer в комментарии, правильная формула для тензора напряжения, входящего в EFE, такова:

$$T_{\mu\nu} = \frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S_{\text{matter}}}{ \delta g^{\mu\nu} }$$ тогда как то, что вы вычисляете, является каноническим тензором энергии напряжения. Однако между ними существует тонкая связь, о которой я подробно расскажу здесь.

За исключением теории, содержащей только скаляры, канонический тензор напряжений никогда не входит в EFE. Это связано с тем, что, вообще говоря, канонический тензор напряжений не является симметричным и, следовательно, не может быть тем же самым тензором напряжений, который входит в EFE. Например, канонический тензор напряжений для электромагнетизма равен

$$(T^{EM}_{\mu\nu})_{\text{canonical}} = F^\rho{}_\mu \partial_\nu A_\rho + \frac{1}{4} g_{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta}$$ который не только не симметричен, но и не калибровочно инвариантен. PS - Несимметрия связана с вращением задействованного поля и тесно связана с тензором углового момента.

Однако в построении тензора напряжений имеется неоднозначность (неоднозначность не меняет сохраняющихся зарядов, являющихся физическими величинами). Эта неоднозначность позволяет построить улучшенный тензор напряжений (часто известный как тензор Белинфанте), который является симметричным и сохраняется. Именно этот улучшенный тензор входит в EFE. (ссылка на эту книгу )

Чтобы убедиться в эквивалентности, вспомним стандартную конструкцию тензора напряжений. Рассмотрим преобразование координат

$$x^\mu \to x^\mu + a^\mu (x)$$ Поскольку исходный лагранжиан инвариантен относительно сдвигов (где$a^\mu$постоянна), изменение действия при таком преобразовании координат равно $$\delta S = \int d^d x \sqrt{-g} \nabla_\mu a_\nu T_B^{\mu\nu}$$ Теперь, если тензор напряжений симметричен, мы можем написать $$\delta S = \frac{1}{2} \int d^d x \sqrt{-g} \left( \nabla_\mu a_\nu + \nabla_\nu a_\mu \right) T_B^{\mu\nu}$$ Обратите внимание, что термин в скобках — это именно изменение метрики при преобразовании координат. Таким образом, $$\delta S = \frac{1}{2} \int d^d x \sqrt{-g} \delta g_{\mu\nu} T_B^{\mu\nu} \implies \frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}} = T_B^{\mu\nu}$$

Таким образом, мы видим, что симметричный тензор напряжений Белинфанте является в точности тензором гравитационных напряжений. Заметьте, конечно, что то, что я сказал, относится конкретно к фону Минковского, поскольку построение$T_B^{\mu\nu}$предполагает лоренц-инвариантность.