Тензор энергии-импульса и тензор электромагнитного поля

Если попытаться получить уравнения Эйнштейна$R_{\mu\nu} - \frac12g_{\mu\nu}R = T_{\mu\nu}$из вариационного принципа получается, что тогда можно определить ковариантную форму тензора энергии-импульса$T_{\mu\nu}$:

$$\delta S_m = \frac12\int d^4x \sqrt{-g} T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}.$$ Я пытался получить выражение для $T_{\mu\nu}$электромагнитного поля. Я начал с инвариантного действия $$\int d^4x\sqrt{-g}L_{em};\quad L_{em} = -\frac{1}{16\pi}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},$$ где $F_{\mu\nu}$тензор электромагнитного поля: $$F_{\mu\nu} = \frac{\partial A_{\nu}}{\partial x^\mu}-\frac{\partial A_{\mu}}{\partial x^\nu}.$$ Если я выберу $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = F_{\mu\nu}g^{\mu\sigma}g^{\nu\tau}F_{\sigma\tau}$тогда вариация дает: $$-\frac{1}{16\pi}\int d^4x\sqrt{-g}\Bigl\{2g^{\alpha\beta}F_{\alpha\mu}F_{\beta\nu}-\frac12g_{\mu\nu}F^{\epsilon\zeta}F_{\epsilon\zeta}\Bigl\}\delta g^{\mu\nu}.$$ Итак, я заключаю $$T^{(em)}_{\mu\nu} = -\frac{1}{4\pi}\Bigl(g^{\alpha\beta}F_{\alpha\mu}F_{\beta\nu}-\frac14g_{\mu\nu}F^{\epsilon\zeta}F_{\epsilon\zeta}\Bigr).$$ Имеем в виду, что $$T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} = -T^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}.$$ Теперь главное. Что, если я выберу для $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$следующее выражение: $$F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = F^{\mu\nu}g_{\mu\sigma}g_{\nu\tau}F^{\sigma\tau}.$$ Действуя так же, как выше, мы получаем $$-\frac{1}{16\pi}\int d^4x\sqrt{-g}\Bigl\{2g_{\alpha\beta}F^{\mu\alpha}F^{\nu\beta} + \frac12 g^{\mu\nu}F_{\delta\epsilon}F^{\delta\epsilon}\Bigr\}\delta g_{\mu\nu},$$ что заставляет меня сделать вывод, что $$T^{\mu\nu} = \frac{1}{4\pi}\Bigl(g_{\alpha\beta}F^{\mu\alpha}F^{\nu\beta} + \frac14 g^{\mu\nu}F_{\delta\epsilon}F^{\delta\epsilon}\Bigr).$$ Но если я уменьшу индексы, я получу $$g_{\mu\sigma}g_{\nu\tau}T^{\sigma\tau} = \tilde{T}_{\mu\nu} = \frac{1}{4\pi}\Bigl(g_{\mu\sigma}g_{\nu\tau}g_{\alpha\beta}F^{\sigma\alpha}F^{\tau\beta} + \frac14g_{\mu\nu}F_{\delta\epsilon}F^{\delta\epsilon}\Bigr),$$ что не так $T_{\mu\nu}$из-за первого срока. Что я не так? Почему ковариантные компоненты вектор-потенциала $A$здесь полезнее, чем контравариант?