Какова метрика постоянного электромагнитного (чисто электрического или чисто магнитного) поля?

Например, представьте себе магнитное поле Б Икс направление в Икс ^ направление, заполняющее все пространство. Каково связанное с ним метрическое поле?

Я могу построить электромагнитный тензор энергии-импульса для этой ситуации:

Т мю ν "=" Б Икс 2 2 мю 0 ( 1 − 1 1 1 ) ,

(пустые элементы - нули) и я мог бы найти метрику из него, используя уравнение Эйнштейна с помощью CAS , но эта процедура решения кажется мне сложной.

Здесь в сообществе много вопросов про электромагнитный тензор энергии-импульса. Но, насколько мне известно, ни один из них не показывает в явном виде метрику постоянного электромагнитного поля. Кто-нибудь знает книгу или статью, которая показывает это?

В книге «Точные решения уравнений поля Эйнштейна» говорится, что единственное конформно плоское ненулевое решение уравнений Эйнштейна – Максвелла (без источников) есть г с 2 "=" ( 1 − λ у 2 ) г Икс 2 + ( 1 − λ у 2 ) − 1 г у 2 + ( 1 − λ г 2 ) − 1 г г 2 − ( 1 − λ г 2 ) г т 2 , где λ к 2 "=" 1 а электромагнитное поле κ 0 Ф 12 "=" 2 λ грех ⁡ β и κ 0 Ф 43 "=" 2 λ потому что ⁡ β , с κ 0 гравитационная постоянная Эйнштейна. Итак, является ли это метрикой для одновременного ненулевого Е → "=" Е Икс Икс ^ и Б → "=" Б Икс Икс ^ ?
Кажется, что предыдущий к связано с метрикой Робертсона-Уокера (я не понимаю, как).
Пожалуйста, простите мое невежество. Как этот линейный элемент может быть конформно плоским?
Если Б → "=" Б Икс ^ и Е → "=" 0 → тогда не Т мю ν "=" Б 2 2 мю 0 ( 1 + 1 0 0 ) ?
Обратите внимание, что вы можете отредактировать свой собственный вопрос. Возможно, вы бы предпочли сделать это. Это позволит хранить все ваши мысли в одном месте.

Ответы (2)

То, как вы ставите вопрос, кажется, что вы имеете в виду решение с полной трансляционной симметрией в пространстве и вращательной симметрией относительно направления магнитного поля в каждой точке. Я не знаю, существует ли такое решение; если это так, то оно должно зависеть от времени: если пространство-время статично, то внешняя кривизна пространственных сечений исчезает. т Икс компонент уравнения Эйнштейна означает, что т Икс компонента тензора энергии напряжения должна обращаться в нуль. Но для магнитного поля в Икс направление, этот компонент − Б 2 / 2 ≠ 0 .

Существует не зависящее от времени устойчивое решение, обладающее трансляционной симметрией в направлении магнитного поля и вращательной симметрией относительно одной оси. Это «магнитная вселенная Мелвина». Энергия магнитного поля гравитационно связана, но не коллапсирует из-за магнитного давления. Пространственная геометрия этого решения странная. Если я правильно помню, длина окружности в плоскости, ортогональной оси симметрии, стремится к нулю , когда радиус цилиндра стремится к бесконечности.

Благодарю за ваш ответ. Я проверю магнитную вселенную Мелвина. Кстати, почему вы ожидаете, что решение с полной трансляционной симметрией в пространстве и вращательной симметрией относительно направления магнитного поля в каждой точке зависит от времени?
Я добавил объяснение.
Эта симметрия подразумевала бы, что пространственные сечения плоские. Я не понимаю вас здесь... почему?
Я тоже не слежу за собой. Извините, я не знаю, о чем я думал. Заменю свой ответ точным, с тем же выводом, что решение не может быть статичным.

Тензор энергии-импульса, связанный с исчезающим электрическим полем Е → "=" 0 с магнитным полем вида Б → "=" Б 0 Икс ^ дан кем-то,

Т мю ν "=" Б 0 2 2 мю 0 η мю ν .

Случайно я могу вспомнить решение, которое демонстрирует подобный тензор энергии-импульса. Если мы рассмотрим простую брану Рэндалла-Сандрума с метрикой вида

г с 2 "=" г ж 2 + е 2 А ( ж ) ( г т 2 − г Икс 2 − г у 2 − г г 2 )

который имеет тензор Эйнштейна (пропорциональный энергии напряжения),

г мю ν "=" − е 2 А η мю ν ( 3 А ″ + 6 А ′ 2 ) .

Таким образом, с помощью этого дополнительного измерения мы можем получить брану, энергия-импульс которой имеет точно такой же вид, как и для представленного вами постоянного магнитного поля. Тем не менее, мы должны решить дифференциальное уравнение,

3 А ″ + 6 А ′ 2 "=" е 2 А .

Делая замену, А ( ж ) "=" п ⁡ ф ( ж ) мы приходим к форме,

ф ″ ( ж ) + ф ′ ( ж ) 2 ф ( ж ) "=" 1 3 ф ( ж ) 3 .

Mathematica может решить эту проблему, но она включает запутанную обратную функцию, включающую тригонометрические функции и эллиптические функции. Таким образом, я не верю, что решение, по крайней мере, в этих координатах, красиво, но оно, безусловно, может быть приведено в представленном виде и существует.

Какова метрика постоянного электромагнитного (чисто электрического или чисто магнитного) поля?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v