Вычисление TμνTμνT^{\mu\nu} по плотности лагранжиана LL\mathscr{L}

Я пытаюсь понять, как связаны верхние и нижние индексы при вычислении тензора энергии-импульса. В частности, я нашел простую задачу, в которой плотность лагранжиана задается как

л "=" 1 2 η мю ν ( ∂ мю ф ) ( ∂ ν ф ) − 1 2 м 2 ф 2
и я хочу вычислить тензор энергии-импульса Т мю ν . Начиная с отношения
Т мю ν "=" ∂ л ∂ ( ∂ мю ф ) ∂ ν ф − η мю ν л
можно найти Т мю ν "=" η мю ν Т мю ν а затем вернуться к Т мю ν через Т мю ν "=" η ν мю Т мю ν .

Мои вопросы следующие:

  • Есть ли разница между ∂ ∂ ( ∂ мю ф ) и ∂ ∂ ( ∂ мю ф ) , и если да, то как вычислить ∂ ∂ ( ∂ мю ф ) 1 2 η мю ν ( ∂ мю ф ) ( ∂ ν ф ) ?

  • Что происходит с термином ∂ л ∂ ( ∂ мю ф ) ∂ ν ф при умножении на η мю ν ? Должны ли быть перемещены какие-либо индексы? Мое текущее понимание состоит в том, что мне сначала нужно найти выражение для этого, не включающее ∂ ∂ ( ∂ мю ф ) а затем просто переместите все верхние индексы мю вниз.

Как вы, наверное, догадались, я новичок в этом типе записи, и я был бы очень признателен за любую помощь.

Ответы (1)

  • При заключении договора с метрикой η мю ν один имеет явно,

η мю ν ∂ л ∂ ( ∂ мю ф ) ∂ ν ф "=" ∂ л ∂ ( ∂ 0 ф ) ∂ 0 ф − ∑ я "=" 1 3 ∂ л ∂ ( ∂ я ф ) ∂ я ф

  • Для другого термина

1 2 η мю ν ∂ л ∂ ( ∂ мю ф ) ∂ мю ф ∂ ν ф "=" 1 2 ( ∂ л ∂ ( ∂ 0 ф ) ( ∂ 0 ф ) 2 − ∑ я "=" 1 3 ∂ л ∂ ( ∂ я ф ) ( ∂ я ф ) 2 )

Примечание: метрическое соглашение η "=" г я а г ( 1 , − 1 , − 1 , − 1 ) .

Вычисление TμνTμνT^{\mu\nu} по плотности лагранжиана LL\mathscr{L}
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v