Транспонировать тензор (1,1)

Question

Транспонировать тензор (1,1)

Шадуму

Когда мы транспонируем тензор (1,1), должны ли мы просто поменять местами два индекса, сохраняя их верхнее/нижнее положение, или поменять их местами, а также поменять их верхнее/нижнее положение? В общем, будет ли иметь значение левый/правый порядок для тензора? Верно ли, что при сжатии индексов между двумя тензорами мы хотим, чтобы сжатые индексы были очень близки друг к другу?

Ответы (2)

Транспонировать тензор (1,1)

Qмеханик · Answer 1

Напомним, что тензоры (1,1) можно отождествить с линейными операторами
$\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} А "=" & \sum_{я Дж} е_{я} А^{я}_{Дж} е^{* Дж} \\ е & л (В; В) ≅ В \otimes В^{*}, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}A~=~&\sum_{ij} e_i~A^i{}_j~e^{\ast j}\cr ~\in~& {\cal L}(V;V)~\cong~V\otimes V^{\ast},\end{align}\tag{1}$ где $V$ является базовым векторным пространством.
Транспонированный элемент имеет вид
$\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} А^{Т} "=" & \sum_{я Дж} е^{* Дж} (А^{Т})_{Дж}^{я} е_{я} \\ е & л (В^{*}; В^{*}) ≅ В^{*} \otimes В, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}A^T~=~&\sum_{ij} e^{\ast j}~(A^{T})_j{}^i~e_i\cr ~\in~&{\cal L}(V^{\ast};V^{\ast})~\cong~V^{\ast}\otimes V,\end{align}\tag{2}$ где $V^{\ast}$ двойственное векторное пространство .
Если есть только четные по Грассману переменные, то транспонированный тензор равен
$\begin{matrix} (3) & (А^{Т})_{Дж}^{я} "=" А^{я}_{Дж} \end{matrix}$ $(A^{T})_j{}^i ~:=~ A^i{}_j \tag{3}$ в местных координатах.
Обратите внимание, что для тензоров в супервекторных пространствах и супермногообразиях супертранспозиция несет дополнительные знаковые множители Грассмана, см., например, Ref. 1 для деталей.

Использованная литература:

Брайс Де Витт, Супермногообразия, Кембриджский унив. Пресс, 1992.

Вы уверены, что транспозиция тензора равна (3)? Если A — преобразование Лоренца, а B — обратное ему, то $B_j{}^i=A^i{}_j$ , что, конечно, не является транспонированием A.
Кажется, это отдельная проблема, вызванная повышением и понижением индексов с помощью метрического тензора, см., например, этот связанный пост Phys.SE.
Матрица Лоренца удовлетворяет $\Lambda^T\eta\Lambda=\eta$ . Или эквивалентно $\Lambda^T=\eta\Lambda^{-1}\eta^{-1}$ . Или то же самое с индексами: $\Lambda^{\sigma}{}_{\mu}$ $=(\Lambda^T)_{\mu}{}^{\sigma}$ $=\eta_{\mu\nu}(\Lambda^{-1})^{\nu}{}_{\rho}\eta^{\rho\sigma}$ $=(\Lambda^{-1})_{\mu}{}^{\sigma}$ . Подчеркнем, что последнее уравнение не означает , что $\Lambda^T$ и $\Lambda^{-1}$ это одна и та же матрица, см. например, этот пост Phys.SE.
Но его транспонирование и инверсия явно не являются одним и тем же тензором, просто рассмотрите ускорение в направлении x, которое вы увидите. @Qmechanic♦
@Qmechanic♦ Я знаю, что это должно быть неправильно, но... Почему ваше последнее уравнение не подразумевает, что $\Lambda^T=\Lambda^{-1}$
$\Lambda^T$ является матрицей для линейной карты в ${\cal L}(V^{\ast};V^{\ast})$ пока $\Lambda^{-1}$ является матрицей для линейной карты в ${\cal L}(V;V)$ , поэтому они как яблоки и апельсины.
я бы догадался, что это $(A^T)^{i}_{\;j}=A^{j}_{\;i}$ ? Потому что $A^j_{\;i}$ соответствует линейной карте и, следовательно, матрице, где j — индекс строки, а i — индекс столбца. Выполнение транспонирования должно дать вам еще одну линейную карту. Я что-то пропустил?
На самом деле, другой вопрос, почему можно написать это уравнение? Мне кажется, судя по позициям индексов, что $(A^T)^i{}_j$ в $V\otimes V^*$ пока $A^i{}_j$ в $V^*\otimes V$ , поэтому мы не сможем написать это уравнение.

Филиппо · Answer 2

Чтобы ответить на ваш вопрос, нам сначала нужно найти определение транспонирования. Переформулировав свой вопрос, будет очень просто ответить на него.

Определение. Позволять $V$ и $W$ быть векторными пространствами над полем $F$ и $A\colon V\to W$ линейная карта. Затем транспонирование $A$ это линейная карта
$А^{Т} : {Вт}^{*} \to В^{*}$ $A^\mathrm{T}\colon W^*\to V^*$ удовлетворяющий $A^\mathrm{T}(x)=x\circ A$ для всех $x\in W^*$ . Также рассмотрим следующую функцию: $\begin{aligned} Φ : л (В, Вт) & \to л ({Вт}^{*}, В^{*}) \\ А & \mapsto А^{Т} \end{aligned}$ $\begin{align} \Phi\colon L(V,W)&\to L(W^*,V^*)\\ A&\mapsto A^\mathrm{T} \end{align}$

Мы рассматриваем случай, когда $V$ является $n$ -размерный и $V=W$ . Позволять $\displaystyle{F^{n\times n}}$ быть набором $n\times n$ -матрицы с элементами в $F$ . Позволять $v_1,\ldots,v_n$ быть основой $V$ , то изоморфизмы

\begin{aligned} α : л (В, В) & \to Ф^{н \times н} \end{aligned}

$\begin{align} \alpha\colon L(V,V)&\to F^{n\times n} \end{align}$ и

\begin{aligned} β : л (В^{*}, В^{*}) & \to Ф^{н \times н} \end{aligned}

$\begin{align} \beta\colon L(V^*,V^*)&\to F^{n\times n} \end{align}$ определяется

α (А)_{я Дж} "=" А^{я}_{Дж} "=" в^{я} (А в_{Дж})

$\alpha(A)_{ij}:=A^i{}_j:=v^i(Av_j)$ и

β (Б)_{м н} "=" Б_{м}^{н} "=" в_{м} Б в^{н} "=" (Б в^{н}) (в_{м})

$\beta(B)_{mn}:=B_m{}^n:=v_mBv^n:=(Bv^n)(v_m)$ позволяют нам идентифицировать тензоры/линейные карты с матрицами. Что мы можем сделать, так это спросить, как матрица

M

$M$ назначен на

A \in L (V, V)

$A\in L(V,V)$ относится к матрице

N

$N$ назначен на

A^{T} \in L (V^{*}, V^{*})

$A^\mathrm{T}\in L(V^*,V^*)$ .

Развернув определения, легко увидеть, что $N$ является транспонированием $M$ , т.е. $N_{ij}=M_{ji}$ . Другими словами:

(β \circ Φ \circ α^{- 1}) (М) "=" М^{Т}

$(\beta\circ \Phi\circ\alpha^{-1})(M)=M^\mathrm{T}$

Транспонировать тензор (1,1)

Шадуму

Ответы (2)

Qмеханик

Шадуму

Qмеханик

Qмеханик

Шадуму

МэттГ88

Qмеханик

пользователь56834

пользователь56834

Qмеханик

Филиппо

Несоответствие с частными производными как базисными векторами?

Применимы ли уравнения общей теории относительности ко всем системам координат?

Скобка Пуассона в общей теории относительности и тензорный вес

Коммутируют ли контравариантные и ковариантные частные производные в ОТО?

Вопрос об истинной природе математического объекта Spinor [закрыт]

Глупо ли различать ковариантные и контравариантные векторы?

Тензор кручения: определение

«Векторы», т.е. (1,0)-тензоры, их определение и мотивация относительности

Использование −g−−−√−g\sqrt{-g} в интегралах правильного объема

Что имеется в виду, когда говорят, что «оператор частной производной ∂/∂xµ∂/∂xµ\partial/\partial x^\mu является ковариантным вектором»?