Тесселяция: что означает след матрицы вращения?

Теорема кристаллографического ограничения говорит, что у вас не может быть периодической решетки с н -кратная вращательная симметрия, с н отличается от 1,2,3,4 и 6 (для 2D и 3D).

Есть много способов доказать теорему, см. статью в Википедии . Я понимаю некоторые из них, но одно из доказательств выглядит так:

Рассмотрим периодическую решетку, симметричную относительно н -кратные вращения вокруг заданной оси. След матрицы, связанный с пространственным вращением вокруг заданной оси, либо 2 потому что ⁡ ( 2 π н ) (2D) или 1 + 2 потому что ⁡ ( 2 π н ) (3D). Поскольку матрица вращения отображает точки решетки в другие точки решетки, то след должен быть целым числом . Единственное решение этого условия н быть равным 1,2,3,4 или 6.

Решение и почему трасса такая, я понимаю, просто написав матрицу вращения, но я хотел бы лучше понять, почему трасса должна быть целым числом, чтобы быть представлением операции симметрии решетки.

Вообще есть ли смысл в trace=integer?

Забавный пустяк, вероятный факт: я почти уверен, что это доказательство принадлежит Дональду Коэкстеру, в основном негативному отчету о статье, которую он рецензировал. Предметом статьи была эта теорема, и статья занимала много страниц. Весь обзор Коекстера состоял из короткого абзаца, включая его доказательство той же теоремы. Я не могу найти ссылку на это прямо сейчас; история довольно юмористическая (из-за красноречивого языка Кекстера в этом вопросе).
Я бы с удовольствием посмотрел. Он критиковал теорему?
Нет, он дипломатично, но саркастически критиковал объем авторского доказательства статьи.

Ответы (1)

Рассмотрим преобразование набора примитивных векторов переноса е а , а "=" 1... г из г -мерная решетка при вращении О :

О е а "=" ∑ б "=" 1 г к а б   е б .
Если вращение является симметрией решетки, то коэффициенты к а б являются целыми числами . Таким образом, матрица вращения, записанная в е а базис имеет целочисленные элементы и целочисленную трассировку. След инвариантен относительно линейных преобразований. Следовательно, матрица вращения, записанная в любом базисе, имеет целочисленный след.

Почему k_ab целые?
Потому что О е а является вектором перевода и е а являются примитивными векторами трансляции. Узлы решетки становятся узлами той же решетки при преобразовании симметрии. Следовательно О е а является переводом.
Или сказать по-другому, если е а являются примитивными векторами переноса, то ВСЕ точки решетки могут быть записаны как сумма целочисленных значений * е а . Вот что делает его решеткой.
@Gec, разве нет проблемы, если твоя база не ортогональна?
@ Маурисио, нет проблем. След инвариантен относительно любых линейных преобразований, не только ортогональных.
Тесселяция: что означает след матрицы вращения?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v