Теорема Блоха, Энергия, Свободный электрон

Question

Теорема Блоха, Энергия, Свободный электрон

Джбар

Я пытаюсь самостоятельно выучить немного твердой физики, чтобы потом заняться полупроводниками. Я борюсь с Энергией против $k$ диаграммы для свободного электрона, которые показывают, что для одного значения $k$ у нас может быть много значений энергии, хотя полоса только одна (в этом примере).

Теорема Блоха говорит нам, что мы можем обозначить энергии, которые система может принять, с помощью вектора $k$ и целое число $n$ (индекс группы). И теорема также говорит нам, что для любого вектора $G$ в обратной решетке имеем:

$E(n,k)=E(n,k+G)$

Применим это к свободному электрону. Это говорит нам о том, что (есть только один индекс полосы)

\frac{ℏ^{2}}{2 м} | к |^{2} "=" \frac{ℏ^{2}}{2 м} | к + г |^{2}

$\frac{\hbar^2}{2m}\lvert k\rvert^2 = \frac{\hbar^2}{2m}\lvert k +G\rvert^2$

для всех $G$ в обратной решетке $\lvert k\rvert=\lvert k+G\rvert$ что абсурдно.

Находим еще одно противоречие, проводя следующие рассуждения:

Поскольку потенциал постоянен, можно считать, что потенциал является периодическим относительно решетки с произвольными векторами $a_1,a_2,a_3$ . (В 1D все, что я говорю, это то, что постоянная функция может рассматриваться как 1-периодическая, 100-периодическая или 0,0001-периодическая..). Таким образом, используя этот факт, мы можем доказать, что существует только одно возможное значение для $E$ что тоже абсурд.

Может кто-нибудь подробно объяснить, что я делаю не так?

Джордж Герольд

Возможно, вы захотите просмотреть схему расширенной зоны и схему свернутой зоны. Некоторые из этих картинок могут вам помочь. Вы используете учебник? и если да то какой?

Джбар

Я читал эту часть во многих учебниках, но я ее не понимаю... Я действительно приложил к этому много усилий, но ничего не окупилось.

Джордж Герольд

Итак, вы записали уравнение для свободной частицы. (Энергия ~ импульс^2) Это изображение подходит мне лучше всего. people.seas.harvard.edu/~jones/ap216/lectures/ls_2/ls2_u7/… (как мне сделать это короткой ссылкой?) Импульс вашей параболической энергии разбит на части из-за того, что он должен быть блоховской функцией и жить в обратной решетке космос. Есть какой-то способ угадать, насколько велик энергетический разрыв на пересечениях, может быть, вы можете посмотреть его?

Ответы (2)

Теорема Блоха, Энергия, Свободный электрон

Возможно, вы захотите просмотреть схему расширенной зоны и схему свернутой зоны. Некоторые из этих картинок могут вам помочь. Вы используете учебник? и если да то какой?
Я читал эту часть во многих учебниках, но я ее не понимаю... Я действительно приложил к этому много усилий, но ничего не окупилось.
Итак, вы записали уравнение для свободной частицы. (Энергия ~ импульс^2) Это изображение подходит мне лучше всего. people.seas.harvard.edu/~jones/ap216/lectures/ls_2/ls2_u7/… (как мне сделать это короткой ссылкой?) Импульс вашей параболической энергии разбит на части из-за того, что он должен быть блоховской функцией и жить в обратной решетке космос. Есть какой-то способ угадать, насколько велик энергетический разрыв на пересечениях, может быть, вы можете посмотреть его?

Xcheckr · Answer 1

О случае свободной частицы думать сложнее, потому что неестественно класть ее на решетку и не разрывать края зоны Бриллиуна. Однако, если вы хотите сделать это, дисперсия будет выглядеть как (b) на рисунке ниже для произвольного выбора шага решетки. $a$ :

Модель почти свободного электрона http://users-phys.au.dk/philip/pictures/solid_metalquantum/nearfree.gif

Почему это так? Это потому, что вы сделали что-то в реальном пространстве периодическим. Когда вы это сделаете, обратное пространство также станет периодическим. (Именно поэтому существует обратная решетка.) Теперь посмотрим на энергию нижней полосы, отмеченной на рисунке рядом с (d). (Разрыв здесь не имеет значения, но он проясняет, что я имею в виду под нижней полосой). Это действительно периодично, как и ваше уравнение, и вы можете видеть это для конкретной полосы :

\frac{ℏ^{2} к^{2}}{2 м} "=" \frac{ℏ^{2} (к + г)^{2}}{2 м}

$\begin{equation} \frac{\hbar^2k^2}{2m}=\frac{\hbar^2(k+G)^2}{2m} \end{equation}$

Кроме того, для конкретного значения $k$ у вас может быть более одной группы. Я думаю, вы ошибаетесь, полагая, что для модели свободных электронов существует только одна полоса. На самом деле, если разбить реальное пространство на $N$ различные единицы измерения расстояния $a$ , ты получишь $N$ полосы, хотя большинство из них будет незанятым. Вы можете видеть, что в пределе, который $a\rightarrow\infty$ , мы восстанавливаем обычную дисперсию свободных частиц.

Ваша ссылка на картинку кажется битой.

Ян Хиршнер · Answer 2

Формула

Е "=" \frac{ℏ^{2}}{2 м} | к |^{2}

$E = \frac{\hbar^{2}}{2m} |k|^{2}$ действует вблизи

k = 0

$k = 0$ , это называется аппроксимацией параболической полосы, которая, как следует из названия, является лишь приближенной формулой. Что касается фактического расчета энергии, вам нужно вычислить собственные значения гамильтониана периодической системы, тогда теорема пытается сказать, что

{ЧАС}_{к} ψ (к) "=" {ЧАС}_{к + К} ψ (к + К)

$\mathcal{H}_{k} \psi(k) = \mathcal{H}_{k+K} \psi(k+K)$ откуда и происходит эквивалентность значений энергии.

Что касается второго вопроса, очень важно понять, что фактическая сила, действующая на частицу в потенциале, исходит не от постоянного значения потенциала, а скорее от его градиента. Опять же, если бы вы вычислили собственные значения гамильтониана в потенциале, где $V = 0$ везде вы получите тот же результат, как если бы вы вычисляли одно и то же уравнение, скажем, $V = 42$ .

Теорема Блоха, Энергия, Свободный электрон

Джбар

Джордж Герольд

Джбар

Джордж Герольд

Ответы (2)

Xcheckr

Руслан

Ян Хиршнер

Закон дисперсии вблизи зон Бриллюэна - Периодические потенциалы

Зачем нам нужно квантование для колебаний решетки?

kkk-интервал для первой зоны Бриллюэна

Фононы и моды

Почему классическая механика не придерживается концепции идентичных частиц?

Приведенный kk\mathbf{k}-вектор в первой зоне Бриллюэна

Обзор и сомнения по поводу теоремы Блоха и концепции частичной плотности состояний

Теорема Блоха

Модель Кронига-Пенни

Ортонормированность волновой функции Блоха?