Теорема эквивалентности S-матрицы

Во-первых, теорема эквивалентности относится к элементам S-матрицы, а не к n-точечным функциям вне оболочки или их генератору.$Z[j]$, которые, как правило, разные. Что вам нужно изучить, так это формулу LSZ , которая дает связь между элементами S-матрицы и математическими ожиданиями упорядоченного по времени произведения полей (внешние n-точечные функции, которые получаются после взятия производных от$Z[j]$и установка$j=0$). Вы увидите, что даже если эти упорядоченные по времени произведения различны, элементы S-матрицы равны именно потому, что остатки этих произведений в соответствующих полюсах «равны» (они строго равны, если матричные элементы полей между вакуумом и одночастичные состояния ($\langle p|\phi|0\rangle$) равны, если они не равны, но оба отличны от нуля, можно тривиально адаптировать формулу LSZ для получения тех же результатов).

Во-вторых, производящий функционал

$$\begin{equation} Z[j]=\int \mathcal{D}[\phi] \exp{\{iS(\phi)+i\int d^4x\hspace{0.2cm} j(x)\phi(x) \}} \end{equation}$$

действует не для всех функционалов действий$S$. Я проиллюстрирую это квантово-механическим примером — обобщение квантовой теории поля тривиально. Ключевой момент состоит в том, чтобы заметить, что «фундаментальный» интеграл по путям - это интеграл по фазовому пространству или гамильтонову интеграл по путям, то есть интеграл по путям до интегрирования импульсов.

Предположим, действие$S[q]=\int L (q, \dot q) \, dt=\int {\dot q^2\over 2}-V(q)\, dt$, то порождение n-точечных функций:

$$Z[j]\sim\int \mathcal{D}[q] \exp{\{iS(q)+i\int dt\hspace{0.2cm} j(t)q(t) \}}$$

Гамильтониан, связанный с описанным выше действием, имеет вид$H(p,q)={p^2\over 2}+V(q)$а интеграл по путям в фазовом пространстве равен:

$$Z[j]\sim \int \mathcal{D}[q]\mathcal{D}[ p] \exp{\{i\int p\dot q - H(p,q)\;dt+i\int dt\hspace{0.2cm} j(t)q(t) \}}$$ Теперь, если выполнить замену координат $q=x+G(x)$в лагранжиане: $$\tilde L(x,\dot x)=L(x+G(x), \dot x(1+G(x)))={1\over 2}\dot x^2 (1+G'(x))^2-V(x+G(x))$$ гамильтониан: $$\tilde H={\tilde p^2\over 2(1+G'(x))}+V\left( x+G(x)\right)$$ где импульс $\tilde p={d\tilde L\over d\dot x }=\dot x \; (1+G'(x))^2$. Изменение координат влечет за собой изменение канонического импульса и гамильтониана. И теперь интеграл по путям в фазовом пространстве: $$W[j]\sim \int \mathcal{D}[x]\mathcal{D}[\tilde p] \exp{\{i\int \tilde p\dot x - \tilde H(\tilde p,x)\;dt+i\int dt\hspace{0.2cm} j(t)x(t) \}}\,,$$ как вы, наверное, и ожидали. Однако при интегрировании импульса получается лангранжева версия интеграла по путям: $$W[j]\sim\int \mathcal{D}[x]\;(1+G'(x)) \exp{\{iS[x+G(x)]+i\int dt\hspace{0.2cm} j(t)x(t) \}}$$ куда $(1+G'(x))$просто $\det {dq\over dx}$. Таким образом, ваше второе уравнение неверно (если предположить, что начальный кинетический член является стандартным), поскольку предыдущий определитель отсутствует. Этот определитель отменяет определитель в вашем последнем уравнении. Тем не менее, $Z[j]\neq W[j]$, так как изменение переменной интегрирования в первом уравнении этого ответа $$Z[j]\sim\int \mathcal{D}[x]\;(1+G'(x)) \exp{\{iS[x+G(x)]+i\int dt\hspace{0.2cm} j(t)(x(t)+G(x)) \}}$$ что не согласуется с $W[j]$из-за срока $j(t)(x(t)+G(x))$. Так что, оба производящих функционала n-точечных функций разные (но разница не в якобиане), хотя и дают те же элементы S-матрицы, что и я писал в первом абзаце.

Изменить: я уточню вопросы в комментариях

Позволять$I=S(\phi)$— функционал действия в лагранжевой форме, и предположим, что производящий функционал Лагранжа задается выражением

$$Z[j]=\int \mathcal{D}[\phi] \exp{\{iS(\phi)+i\int d^4x\hspace{0.2cm} j\phi \}}$$

Очевидно, мы можем изменить переменную интегрирования$\phi$без изменения интеграла. Так что, если$\phi\equiv \chi + G(\chi)$, получается:

$$Z[j]=\int \mathcal{D}[\chi]\,\det(1+G'(\chi)) \exp{\{iS(\chi +G(\chi))+i\int d^4x\hspace{0.2cm} j(\chi + G(\chi))\}}$$

Если мы хотим использовать этот производящий функционал в терминах полевой переменной$\chi$, определитель является решающим. Если бы мы начали с действия$S'(\chi)=S(\chi +G(\chi))=I$— не зная о существовании переменной поля$\phi$— мы бы получили следующую лагранжеву версию производящего функционала:

$$Z'[j]=\int \mathcal{D}[\chi]\,\det(1+G'(\chi)) \exp{\{iS'(\chi )+i\int d^4x\hspace{0.2cm}j \chi\}}$$ Обратите внимание, что $Z'[j]\neq Z[j]$(но $Z[j=0]=Z'[j=0]$) и, следовательно, n-точечные функции вне оболочки различны. Если мы хотим увидеть, порождают ли эти производящие функционалы одни и те же элементы S-матрицы, мы можем, как всегда, произвести замену переменной интегрирования без изменения функционального интеграла. Сделаем обратную замену, т.е. $\chi\equiv\phi+F(\phi)$: $$Z'[j]=\int \mathcal{D}[\phi]\, \det(1+F'(\phi)) \det(1+G'(\chi)) \exp{\{iS'(\phi+F(\phi) )+i\int d^4x\hspace{0.2cm} j(\phi + F(\phi))\}}=\int \mathcal{D}[\phi]\, \exp{\{iS(\phi)+i\int d^4x\hspace{0.2cm} j(\phi + F(\phi))\}}$$
Итак, необходимо ввести n-точечные функции, связанные с $Z[j]$а также $Z'[j]$в формуле LSZ и проанализируйте, порождают ли они одни и те же элементы S-матрицы, даже если они являются разными n-точечными функциями.

(Связанный вопрос: переопределение скалярного поля и амплитуда рассеяния )

я) Исх. 1 никогда не упоминает явно поименно следующие два ингредиента в своем доказательстве:

1. Ключевая роль формулы приведения Лемана-Симанзика-Циммермана (LSZ)

   $$\left[ \prod_{i=1}^n \int \! d^4 x_i e^{ip_i\cdot x_i} \right] \left[ \prod_{j=1}^m \int \! d^4 y_j e^{-ik_j\cdot y_i} \right] \langle \Omega | T\left\{ \phi(x_1)\ldots \phi(x_n)\phi(y_1)\ldots \phi(y_m )\right\}|\Omega \rangle$$ $$~\sim~\left[ \prod_{i=1}^n \frac{i\langle \Omega |\phi(0)|\vec{\bf p}_i\rangle }{p_i^2-m^2+i\epsilon}\right] \left[ \prod_{j=1}^m \frac{i\langle \vec{\bf k}_j |\phi(0)|\Omega\rangle }{k_j^2-m^2+i\epsilon}\right] \langle \vec{\bf p}_1 \ldots \vec{\bf p}_n|S|\vec{\bf k}_1 \ldots \vec{\bf k}_m\rangle$$ $$\tag{A} +\text{non-singular terms}$$ $$\text{for each} \quad p_i^0~\to~ E_{\vec{\bf p}_i} , \quad k_j^0~\to~ E_{\vec{\bf k}_j}, \quad i~\in~\{1, \ldots,n\}, \quad j~\in~\{1, \ldots,m\}.$$ [Здесь мы для простоты предположили, что пространство-время$\mathbb{R}^4$; что взаимодействия происходят в компактной области пространства-времени; что асимптотические состояния хорошо определены; что существует только один тип скалярного бозонного поля$\phi$с физической массой$m$.]

2. Это экв. (9-102), (9-103), (9-104a) и (9-104b) на стр. 447 являются просто различными вариантами уравнений Швингера-Дайсона (ШД) . [Уравнения SD могут быть доказаны либо путем интегрирования по частям, либо, что эквивалентно, через бесконечно малые изменения переменных интегрирования в интеграле по путям. Последний метод используется в работе. 1.]

На середине с. 447, ссылка. 1 относится к переопределению поля$\varphi\to \chi$как канонический , если

[...] отношение$\varphi\to \chi$может быть инвертирован (как формальный степенной ряд).

Это, конечно, не стандартная терминология. Кроме того, это несколько бессмысленное определение, поскольку любой читатель неявно предположил бы, что переопределения полей обратимы. Отметим, в частности, что Ref. 1 не подразумевает гамильтоновой формулировки со словом « канонический».

II) Теорема эквивалентности утверждает, что$S$-матрица $\langle \vec{\bf p}_1 \ldots \vec{\bf p}_n|S|\vec{\bf k}_1 \ldots \vec{\bf k}_m\rangle$[рассчитано по формуле редукции LSZ (A)] является инвариантным относительно локальных переопределений/репараметризаций поля.

В этом ответе нас в основном будет интересовать отображение основного механизма, лежащего в основе теоремы эквивалентности, на уровне корреляционных функций (в отличие от тщательного отслеживания шагов [1] на уровне статистической суммы).

В формуле LSZ (A) рассмотрим бесконечно малое локальное переопределение поля

$$\tag{B} \phi~ \longrightarrow ~\phi^{\prime}~=~ \phi +\delta \phi$$

без явных пространственно-временных зависимостей; т. е. преобразование

$$\tag{C} \delta \phi(x)~=~ f\left(\phi(x), \partial\phi(x), \ldots, \partial^N\phi(x)\right)$$

в точке пространства-времени$x$зависит от полей (и их пространственно-временных производных до конечного порядка$N$), все оцениваются в одной и той же точке пространства-времени$x$. [Если$N=0$, преобразование (С) называется ультралокальным. ]

Теперь можно возразить, что вблизи одночастичных полюсов это приведет только к мультипликативному масштабированию в обеих частях формулы LSZ (A) с одной и той же мультипликативной константой, т. е.$S$-матрица инвариантна. Это мультипликативное перемасштабирование известно как перенормировка волновой функции или как перенормировка напряженности поля в [1]. 3.

III) Наконец, упомянем, что Вилковиский разработал подход, где$1$-неприводимые к частицам (1PI) корреляционные функции являются инвариантными вне оболочки при репараметризации поля, ср. Ссылка 4.

Использованная литература:

1. К. Ициксон и Дж. Б. Зубер, QFT, (1985), раздел 9.2, с. 447-448.

2. А. Зи, QFT в двух словах, 2-е изд. (2010), Глава 1, Приложение B, с. 68-69. (Совет: Тримок.)

3. М. Е. Пескин и Д. В. Шредер, (1995) Введение в КТП, раздел 7.2.

4. Вилковиский Г.А. Уникальное эффективное действие в КТП // Nucl. физ. В234 (1984) 125.