Почему в функциональных интегралах Фейнмана мы интегрируем действие за все время?

Краткий ответ (при условии правильного временного упорядочения$x$и$y$):

$$\langle \Omega| \phi(x) \phi(y) | \Omega\rangle = \frac{ \langle 0 | U(-\infty, x^0) \phi_I(x) U(x^0, y^0) \phi_I(y) U(y^0, +\infty) |0 \rangle }{\langle 0 | U(-\infty, \infty) | 0 \rangle }$$

Эти бесконечности должны быть и в интеграле действия.

---

Теперь есть довольно глубокая причина того, что время уходит в бесконечность в интеграле по путям (заслуга в этом , как обычно, принадлежит Вайнбергу и его потрясающей книге ). У пропагандистов обычно смешно$i \epsilon$в знаменателях, например:

$$\frac{1}{q^2 + m^2 - i \epsilon}$$

Что делает возможной интеграцию по$q$и помогает выбрать правильный полюс с помощью теоремы об остатках.

Хотя это обычно просто предполагается и не учитывается в расчетах, это$i \epsilon$исходит из фаз поля во времени$\pm \infty$:

$$\langle \Omega,out| \phi(\infty) \rangle \langle \phi(-\infty) | \Omega, in \rangle \propto e^{\epsilon \, \times \, \cdots \text{pairs of fields} }$$

для некоторого бесконечно малого$\epsilon$.

(Заметим, что в взаимодействующей теории это произведение проекций можно вычислить только при$t = \pm \infty$, так как предполагается, что в настоящее время теория свободна.)

Учитывая, что это произведение пропорционально экспоненциальной форме - произведение$\epsilon$и пары полей будут объединены с действием! Это причина иметь$\epsilon$в пропагаторе.

(Более подробную информацию вы можете найти в главе 9 тома 1 Weinberg's QFT )

Это распространенная тема в физике: если в задаче есть разделение характерных масштабов, физические эффекты, связанные с субдоминантными масштабами, можно игнорировать.

например в$S$-матричная теория, для простоты часто предполагается, что взаимодействиями можно пренебречь вблизи начального и конечного моментов времени,$t=t_i$и$t=t_f$, и что интервал времени$[t_i,t_f]$много больше, чем все характерные временные масштабы взаимодействий.

Другими словами, если мы не заинтересованы в изучении временных граничных эффектов, мы могли бы также послать$t_i\to -\infty$и$t_f\to \infty$упростить задачу.