Теорема Мермина-Вагнера при наличии жестких взаимодействий

Question

Теорема Мермина-Вагнера при наличии жестких взаимодействий

Физика
спин-модели
исследовательский уровень
математическая физика
статистическая механика

Иван Веленик

В литературе по теоретической физике довольно часто можно увидеть приложения «теоремы Мермина-Вагнера» (см. Википедию или стипендию для некоторого ограниченного фона) к системам с жесткими взаимодействиями; например, сделать вывод, что настоящие кристаллические фазы для системы жестких дисков (с возможными дополнительными взаимодействиями) не могут существовать в 2-х измерениях. Если это конкретное утверждение было строго доказано несколько лет назад (см. эту статью ), то в целом известно, что наличие жестких ядерных взаимодействий может приводить к фазам с нарушенной непрерывной симметрией (конкретный пример приведен ниже).

Для простоты позвольте мне сосредоточиться на моделях спинов ближайших соседей на квадратной решетке, где спины принимают значения в единичном круге. Итак, рассмотрим формальный гамильтониан вида

\sum_{я \sim Дж} В (С_{я}, С_{Дж}),

$\sum_{i\sim j} V(S_i,S_j),$ с

V

$V$ — непрерывная функция, предполагаемая инвариантной относительно действия

S O (2)

$SO(2)$ :

V (r_{θ} S_{i}, r_{θ} S_{j}) = V (S_{i}, S_{j})

$V(r_\theta S_i, r_\theta S_j) = V(S_i,S_j)$ , куда

r_{θ}

$r_\theta$ поворачивает спину на угол

θ

$\theta$ . В этом случае известно, что все чистые фазы модели инвариантны по отношению к действию

S O (2)

$SO(2)$ . (Обратите внимание, что мы даже не требуем

V

$V$ быть гладким, чтобы обычные, как эвристические, так и строгие, аргументы, основанные на разложении Тейлора и аргументе спиновых волн, не применялись сразу; что можно сделать так было доказано здесь ). На самом деле известны значительно более общие результаты, но этого достаточно для моего вопроса.

Что меня интересует, так это то, что происходит с моделями этого типа при наличии жестких взаимодействий. Общие результаты неизвестны, и ситуация оказалась тонкой. В самом деле, рассмотрим, например, модель Патрашиу-Зайлера, в которой

В (С_{я}, С_{Дж}) знак равно {\begin{cases} - С_{я} \cdot С_{Дж} & если | дельта (С_{я}, С_{Дж}) | \leq {дельта}_{0}, \\ + \infty & в противном случае, \end{cases}

$V(S_i,S_j) = \begin{cases} -S_i\cdot S_j & \text{if }|\delta(S_i,S_j)|\leq\delta_0,\\ +\infty & \text{otherwise,} \end{cases}$ куда

δ (S_{i}, S_{j})

$\delta(S_i,S_j)$ обозначает угол между спинами

S_{i}

$S_i$ а также

S_{j}

$S_j$ , а также

δ_{0} > 0

$\delta_0>0$ является некоторым параметром. Другими словами, эта модель совпадает с классической моделью XY за исключением дополнительного ограничения, заключающегося в том, что соседние спины не могут слишком сильно различаться. Для этой модели здесь доказано , что при

δ_{0} < π / 4

$\delta_0<\pi/4$ , существуют (невырожденные) фазы, в которых вращательная инвариантность нарушена. Тем не менее можно ожидать, что фазы, полученные, скажем, при термодинамическом пределе вдоль квадратных ящиков со свободными, периодическими или постоянными граничными условиями, должны быть инвариантными относительно вращения.

Итак, вот мой вопрос : существуют ли какие-либо эвристические физические аргументы, подтверждающие справедливость версии «теоремы Мермина-Вагнера» в таких ситуациях? Все известные мне эвристические аргументы в таком контексте терпят неудачу. Наличие хороших эвристических аргументов может сильно помочь в распространении строгих доказательств на такие ситуации.

Редактировать: Позвольте мне уточнить мой вопрос, поскольку (довольно долгое) обсуждение с Роном Маймоном ниже показывает, что я не сформулировал его достаточно ясно. Меня не интересует обсуждение того, почему контрпример, приведенный выше, приводит к нарушению теоремы МВ и является ли он физически реалистичным (насколько я понимаю, его главное значение состояло в том, чтобы показать, что необходимо сделать некоторые предположения относительно взаимодействие $V$ чтобы иметь вращательную инвариантность всех состояний Гиббса бесконечного объема, и это именно то, что делает этот пример). Что меня действительно интересует, так это следующее: существуют ли эвристические (но сформулированные математическим способом, а не просто какие-то расплывчатые замечания) аргументы, с помощью которых физики могут вывести теорему МВ при наличии жестких взаимодействий? Мне даже были бы интересны аргументы, применимые при отсутствии хардкорных взаимодействий, но когда $V$ не дифференцируема (хотя этот случай строго рассматривается в приведенной выше ссылке).

Рон Маймон

Вопрос был ясен на 100%, и ответ, который я дал вам, является правильным --- нет никакой разницы в эвристическом аргументе Мермина Вагнера при наличии хардкорных взаимодействий или при их отсутствии, потому что ваш контрпример - чепуха. Аргументом является обычное установление усредненных состояний спиновых волн и обнаружение того, что свободная энергия представляет собой свободное поле, которое имеет только логарифмически расходящиеся конфигурации. Единственный способ, которым это не удастся, — это заморозить все флуктуации, чтобы вообще не было спиновых волн, и это ваш пример. Это не обязательно связано с жесткими стенами.

Рон Маймон

Причина, по которой ваши методы не работают в случае жесткого потенциала, не в том, что аргумент Мермина и Вагнера несостоятелен, а в том, что ваши методы не в духе Мермина-Вагнера. Причина, по которой они терпят неудачу, заключается в том, что вы не определяете усредненное дальнодействующее поле спиновых волн, а пытаетесь делать что-то с голыми конфигурациями, что безнадежно. Способ определить теорию дальних расстояний — это перенормировка (в смысле Вильсона, но проще, потому что предел свободен).

Иван Веленик

Я с нетерпением жду вашего аргумента. Обратите внимание, что в сообществе строгой статистической механики расширение за пределы потенциалов гладкого взаимодействия (как и мы) оставалось открытым в течение примерно 20 лет (прочитайте обзор mathscinet, если вы не верите в это). Итак, если простой подход может решить эти проблемы и многое другое, это было бы здорово.

Иван Веленик

@RonMaimon: я думаю, что вы несколько несправедливы (или дезинформированы), когда говорите, что «ваши методы не в духе Мермина-Вагнера». Используемые нами методы (которые были введены в конце 1970-х годов Добрушиным и Шлосманом и Пфистером) кажутся мне очень в духе МВ: грубо говоря, они сравнивают (конечно-объемную) меру Гиббса до и после деформации конфигурации глобальной спиновой волной и показать, что эффект этой деформации становится незначительным, когда размер системы становится большим (и, следовательно, длина волны большой). [продолжение следует]

Иван Веленик

[продолжение] Трудность при наличии жесткого ядра состоит в том, что большинство конфигураций становятся запрещенными (имеют бесконечную энергию) после деформации спиновой волной. Затем можно попытаться прибегнуть к деформации, зависящей от конфигурации (это то, что делает Рихтхаммер в своей трактовке модели жестких дисков), но это, к сожалению, технически довольно сложно.

Рон Маймон

Я работал над этим, и ваше препятствие связано с работой с микросостояниями. Теорема Мермина и Вагнера в обычном физическом понимании - со средними полями, хотя Вы правы, что этот аргумент соответствует Мермину Вагнеру, а не Каданову. Вам вообще не нужно иметь дело с микросостояниями, просто с потоками RG.

Иван Веленик

@RonMaimon: Но будет ли такой аргумент: (i) строгим (или может быть сделан таковым, если достаточно усердно работать), поскольку перенормировка в реальном пространстве ведет себя очень плохо с математической точки зрения; (ii) дать нам инвариантность всех гиббсовских состояний бесконечного объема (в обычном смысле математической статистической физики, т. е. решения уравнений ДЛР)? Спасибо за все время, которое вы тратите на это :). Я действительно хотел бы лучше понять ваш подход. У вас есть реф. для подхода ренормализационной группы к MW (даже нестрогого, конечно)?

Рон Маймон

Аргумент дает вам, что все состояния Гиббса с нетривиальной экстенсивной энтропией сходятся к гауссовскому свободному полю на решетке. Я пытаюсь доказать это строго, с помощью перенормировки Мигдала-Каданова (хотя это не «книжное доказательство», как сказал бы Эрдос), которая полностью математически четко определена. Я давно придумал инструмент, чтобы сделать конвергенцию очевидной, но я не уверен, смогу ли я завершить аргумент. Выложу в ближайшие дни.

Иван Веленик

@RonMaimon: Отлично, я с нетерпением жду вашего аргумента.

Иван Веленик

@RonMaimon: Есть новости? Если вы подумали об этом и пришли к выводу, что это действительно менее тривиально, чем вы ожидали, то мне также было бы интересно это узнать (хотя, конечно, я бы предпочел решение ;)).

Ответы (1)

Теорема Мермина-Вагнера при наличии жестких взаимодействий

Вопрос был ясен на 100%, и ответ, который я дал вам, является правильным --- нет никакой разницы в эвристическом аргументе Мермина Вагнера при наличии хардкорных взаимодействий или при их отсутствии, потому что ваш контрпример - чепуха. Аргументом является обычное установление усредненных состояний спиновых волн и обнаружение того, что свободная энергия представляет собой свободное поле, которое имеет только логарифмически расходящиеся конфигурации. Единственный способ, которым это не удастся, — это заморозить все флуктуации, чтобы вообще не было спиновых волн, и это ваш пример. Это не обязательно связано с жесткими стенами.
Причина, по которой ваши методы не работают в случае жесткого потенциала, не в том, что аргумент Мермина и Вагнера несостоятелен, а в том, что ваши методы не в духе Мермина-Вагнера. Причина, по которой они терпят неудачу, заключается в том, что вы не определяете усредненное дальнодействующее поле спиновых волн, а пытаетесь делать что-то с голыми конфигурациями, что безнадежно. Способ определить теорию дальних расстояний — это перенормировка (в смысле Вильсона, но проще, потому что предел свободен).
Я с нетерпением жду вашего аргумента. Обратите внимание, что в сообществе строгой статистической механики расширение за пределы потенциалов гладкого взаимодействия (как и мы) оставалось открытым в течение примерно 20 лет (прочитайте обзор mathscinet, если вы не верите в это). Итак, если простой подход может решить эти проблемы и многое другое, это было бы здорово.
@RonMaimon: я думаю, что вы несколько несправедливы (или дезинформированы), когда говорите, что «ваши методы не в духе Мермина-Вагнера». Используемые нами методы (которые были введены в конце 1970-х годов Добрушиным и Шлосманом и Пфистером) кажутся мне очень в духе МВ: грубо говоря, они сравнивают (конечно-объемную) меру Гиббса до и после деформации конфигурации глобальной спиновой волной и показать, что эффект этой деформации становится незначительным, когда размер системы становится большим (и, следовательно, длина волны большой). [продолжение следует]
[продолжение] Трудность при наличии жесткого ядра состоит в том, что большинство конфигураций становятся запрещенными (имеют бесконечную энергию) после деформации спиновой волной. Затем можно попытаться прибегнуть к деформации, зависящей от конфигурации (это то, что делает Рихтхаммер в своей трактовке модели жестких дисков), но это, к сожалению, технически довольно сложно.
Я работал над этим, и ваше препятствие связано с работой с микросостояниями. Теорема Мермина и Вагнера в обычном физическом понимании - со средними полями, хотя Вы правы, что этот аргумент соответствует Мермину Вагнеру, а не Каданову. Вам вообще не нужно иметь дело с микросостояниями, просто с потоками RG.
@RonMaimon: Но будет ли такой аргумент: (i) строгим (или может быть сделан таковым, если достаточно усердно работать), поскольку перенормировка в реальном пространстве ведет себя очень плохо с математической точки зрения; (ii) дать нам инвариантность всех гиббсовских состояний бесконечного объема (в обычном смысле математической статистической физики, т. е. решения уравнений ДЛР)? Спасибо за все время, которое вы тратите на это :). Я действительно хотел бы лучше понять ваш подход. У вас есть реф. для подхода ренормализационной группы к MW (даже нестрогого, конечно)?
Аргумент дает вам, что все состояния Гиббса с нетривиальной экстенсивной энтропией сходятся к гауссовскому свободному полю на решетке. Я пытаюсь доказать это строго, с помощью перенормировки Мигдала-Каданова (хотя это не «книжное доказательство», как сказал бы Эрдос), которая полностью математически четко определена. Я давно придумал инструмент, чтобы сделать конвергенцию очевидной, но я не уверен, смогу ли я завершить аргумент. Выложу в ближайшие дни.
@RonMaimon: Отлично, я с нетерпением жду вашего аргумента.
@RonMaimon: Есть новости? Если вы подумали об этом и пришли к выводу, что это действительно менее тривиально, чем вы ожидали, то мне также было бы интересно это узнать (хотя, конечно, я бы предпочел решение ;)).

Рон Маймон · Answer 1

Во-первых, я переведу соответствующие отрывки в вашей статье с математического языка.

Аргумент в вашей ссылке

Вы изучаете модель XY с ограничением, что соседние спины всегда должны находиться в пределах определенного угла друг от друга. Вы определяете набор распределений Гиббса статистической механики, используя заданное граничное условие на бесконечности, по мере того как границы удаляются все дальше и дальше. Затем вы замечаете, что если поле на границе заставляет спин повернуться сверху вниз на максимально возможную величину, то спины заблокированы на месте --- они не могут двигаться, потому что им нужно сделать определенную обмотку, и они, если они не находятся под максимально возможным углом, они не могут сделать обмотку.

Используя эти граничные условия, не существует ни свободной энергии, ни термодинамики, ни предела спиновых волн, и теорема Мермина-Вагнера не работает.

Вы также утверждаете, что теорема неверна с трансляционно-инвариантной мерой, которая просто дается усреднением одного и того же по разным центрам. Вы пытаетесь сделать вещь более физической, позволяя граничному условию немного колебаться вокруг среднего значения. $\delta$ . Но для того, чтобы граничное условие намотки было жестким, так как размер коробки $N$ уходит в бесконечность, $\delta$ должен сжиматься, как $1\over N$ , и результирующая Свободная энергия вашей конфигурации всегда будет субэкстенсивной в бесконечном системном пределе. Если $\delta$ не сжимается, конфигурации всегда будут рандомизировать свои углы, как говорит теорема Мермина-Вагнера.

Все неудачи теоремы Мермина-Вагнера происходят из-за этой физически невозможной граничной ситуации, а не из-за сингулярных потенциалов. Заставляя количество разрешенных конфигураций равняться ровно 1 для всех намерений и целей, вы создаете ситуацию, когда каждое другое среднее значение угла имеет полностью непересекающийся представитель в термодинамическом пределе. Это делает энергию как функцию среднего угла разрывной (фактически энергия бесконечна, за исключением почти одной конфигурации), и делает невозможным создание спиновых волн.

Этот тип аргумента имеет аналог 1d, где аналог Мермина-Вагнера доказать гораздо проще.

1-мерная механическая аналогия

Чтобы увидеть, что этот результат не является ошибкой Мермина-Вагнера, рассмотрим гораздо более простую одномерную теорему: не может быть одномерного твердого тела (дальний трансляционный порядок). Если вы создаете потенциал между точками, который бесконечен на определенном расстоянии D, вы можете нарушить и эту теорему.

Что вы делаете, так это накладываете условие, что существует N частиц, и N-я частица находится на расстоянии ND от первой. Тогда частицы вынуждены находиться прямо на краю бесконечной ямы, и вы получаете то же самое нарушение: вы формируете 1d-кристалл, только накладывая граничные условия на трансляционно-инвариантный потенциал.

Аргумент в 1d о том, что не может быть кристаллического порядка, исходит из того, что локальный дефект сдвинет среднее положение произвольно далеко, поэтому, добавляя больше дефектов, вы размываете позиционный порядок.

Мермин-Вагнер не пострадал

Стандартные аргументы в пользу теоремы Мермина-Вагнера не нуждаются в модификации. Они предполагают, что существует реальная термодинамическая система с ненулевой экстенсивной свободной энергией, энтропией, пропорциональной объему, а в вашем примере это нарушается. Случай точно нулевой температуры также несколько аналогичен — у него нет экстенсивной энтропии, и при точно нулевой температуре вы нарушаете симметрию.

Если у вас есть экстенсивная энтропия, то существует чудесное свойство перекрытия, которое играет центральную роль в том, как физики демонстрируют гладкость макроскопической свободной энергии. Распределение Гиббса под двумя углами, бесконечно мало разделенными, суммируется почти по одним и тем же точным конфигурациям (в том смысле, что при достаточно малом угле локально нельзя сказать, изменилось ли оно, потому что локальные флуктуации затмевают среднее, поэтому локальные конфигурации не меняются). т заметьте)

Огромное, почти полное перекрытие конфигураций под соседними углами показывает, что термодинамические средние потенциалы гораздо более гладкие, чем, возможно, сингулярные потенциалы, которые входят в микроскопическое описание. Вы всегда получаете квадратичную плотность спиновых волн, в том числе и в случае упомянутой вами модели, всякий раз, когда у вас есть обширная свободная энергия.

Когда у вас есть квадратичная энергия спиновой волны, следует теорема Мермина-Вагнера.

Быстрый ответ

распределения Гиббса для ориентации $\theta$ и распределения Гиббса для ориентации $\theta'$ всегда включать локально перекрывающиеся конфигурации, т.к. $\theta$ подходы $\theta'$ . Это допущение не работает в вашем примере, потому что даже бесконечно малое изменение угла для граничного условия полностью меняет конфигурации, потому что они не имеют экстенсивной энтропии и заперты в пределах $\delta$ , уменьшающаяся вместе с размером системы, с нефизически ограниченной конфигурацией.

Спасибо за Ваш ответ. Должен признаться, однако, что я не понимаю всех ваших доводов и, вероятно, мне придется перевести все обратно на математический язык, как вы говорите. Тем не менее, если я соглашусь с тем, что наш пример весьма надуман и нереалистичен (он был приведен для того, чтобы объяснить, почему в нашей статье нужна некоторая регулярность взаимодействия, а именно непрерывность или более общее условие (26)), я не думаю, что результирующее состояние Гиббса представляет собой просто смесь мер со всеми спинами, замороженными в заданном направлении (даже если это будет мера Гиббса, хотя и патологическая). [продолжение следует]
[продолжение] Но в любом случае мой вопрос касался эвристического аргумента, который объяснил бы, как реализовать аргумент спиновых волн при наличии жестких взаимодействий. вы, кажется, даете один, но я не могу следовать ему, так как он слишком неточен. Не могли бы вы добавить еще немного математики? На самом деле, даже явное объяснение вашего аргумента, когда взаимодействие является непрерывным (но не дифференцируемым), было бы уже хорошо (хотя мы знаем, как это строго доказать, и из доказательства можно извлечь хороший физический аргумент).
Кроме того, как бы вы аргументировали (эвристически, но, пожалуйста, с некоторыми математическими подробностями), что жесткие диски в плоскости не могут образовывать кристаллическую фазу (т. е. трансляционная инвариантность не может быть нарушена)? Чтобы все было как можно проще, предположим, что нет никаких других взаимодействий, кроме хардкора. Известно строгое доказательство (см. ссылку в моем вопросе), но оно довольно сложное. Конечно, здесь волны плотности, а не спиновые волны, но это не имеет значения. Обратите внимание, что здесь энергия конфигурации либо $0$ или же $+\infty$ , что затрудняет гладкую деформацию конфигураций.
Хотя это не главное, позвольте мне вернуться к вашему комментарию о $\delta$ в вашем ответе. Конечно, $\delta$ должен пойти в $0$ с $N$ . Но это не означает, что результирующая мера Гиббса не имеет экстенсивной энтропии, потому что спины далеко от границы имеют место для маневра. Это только спины на конечном расстоянии от начала координат, которые вы видите в термодинамическом пределе. Так что я почти уверен (хотя формальное доказательство потребовало бы некоторого времени), что в соответствии с мерой, которую мы «конструируем», угол между двумя заданными вершинами (скажем, $(0,0)$ а также $(1,0)$ ) имеет ненулевую дисперсию.
Кстати, мне было бы очень интересно, если бы у вас была какая-нибудь ссылка, в которой подробно описаны аргументы, которые вы имеете в виду (я имею в виду, с соответствующим математическим выводом; конечно, я не прошу здесь строгости!). Те, кого я знаю, всегда делают расширения до второго порядка, чего вы не можете сделать во всех случаях, о которых я упоминаю.
...и ограничение по размеру в комментариях - это действительно больно... >:(
@Yvan: на теорему Мермина-Вагнера не влияют сингулярные потенциалы, такие как те, которые вы используете. Причина в том, что ненулевая локальная энтропия усредняет потенциал с помощью гладкой функции усреднения, а именно: $\exp(-\beta E)$ ", и эта процедура усреднения сглаживает потенциал до обычной спин-волновой формы. В вашем примере нет ничего необычного, он аналогичен полностью застывшему пределу нулевой температуры, что также нарушает теорему.
Чтобы иметь термодинамическую свободную энергию, вам нужно не только, чтобы разница между 0,0 и 0,1 была отличной от нуля, что будет верно при использовании $\delta$ , но количество конфигураций экспоненциально зависит от общего числа вершин решетки. Если энтропия не экстенсивна (имеется в виду, если нет ненулевой энтропии на узел решетки), то вы не усредняете по перекрывающимся конфигурациям для соседних средних направлений вращения, и у вас нет макроскопической гладкости.
Нет, я не думаю, что это похоже на нулевую температуру, как я объяснил выше. Но это не имеет значения. Что я действительно хочу знать, так это то, как вы заставляете аргументы, которые вы предлагаете, работать с потенциалом, который ведет себя, скажем, как $1-e^{-1/\theta}$ в $0$ , куда $\theta$ - разница углов между двумя соседними спинами. Обратите внимание, что малый угол приводит к огромной разнице энергий. (Опять же: это случай, с которым я знаю, как поступить, но ваша точка зрения может быть интересна). Точно так же, как вы относитесь к корпусу жесткого диска?
«... количество конфигураций экспоненциально от общего числа вершин решетки». Конечно, я это знаю. И я говорю, что это, вероятно, имеет место в нашем примере в предельном состоянии Гиббса : все спины на конечном расстоянии от начала координат будут иметь место для раскачивания, что порождает положительную плотность энтропии.
После некоторых размышлений действительно может оказаться, что плотность энтропии равна нулю: достаточно, чтобы пространство для маневра спинов достаточно быстро распадалось с расстоянием до $0$ . Маловероятно, что это так, но в данный момент у меня определенно нет веских аргументов. Но, пожалуйста, давайте лучше сосредоточимся на моих основных вопросах. Например, жесткие диски или следующий пример, который гораздо ближе к моделям, которые мы обсуждали в этих комментариях [пример в следующем комментарии].
Вот пример. Неизвестно, как доказать результат, поэтому, если у вас есть идеи, почему он должен быть правдой, я был бы очень рад. Но, пожалуйста, попробуйте дать некоторые математические подробности или ссылку на них. Проблема заключается в следующем: спины принимают значения в $\mathbb{R}$ ; Я назову их значения «высотой». Энергия взаимодействия между двумя соседями (на $\mathbb{Z}^2$ ) равно $0$ если высоты отличаются менее чем $1$ , а также $+\infty$ если они отличаются на $1$ или больше. Рассмотрим коробку $\{-N,\ldots,N\}^2$ . MW будет означать, что дисперсия высоты на $0$ растет как $\log N$ . Как бы вы поспорили?
@Yvan: Это похоже на нулевую температуру тем, что плотность энтропии равна нулю, что очевидно из распада дельты с N. Вам нужна постоянная $\delta$ иметь плотность энтропии. Это центральный недостаток модели. Я использую только аргумент Мермина Вагнера, для сингулярных потенциалов никаких модификаций нет . Почему бы вам не задать вопрос о функции высоты, комментарии слишком ограничивают --- я эвристически понимаю, почему это работает (безмассовое 2d-поле). Единственным препятствием для доказательства являются определенные вероятностные построения, которыми я пользуюсь лично и которые я никогда не записывал.
Хорошо, я задам это как новый вопрос. Я не согласен с вашим утверждением о $\delta$ , но это может быть потому, что мы используем одни и те же слова для двух разных вещей. В любом случае, я до сих пор не понимаю, как можно использовать положительную плотность энтропии для решения любого из случаев, которые я упомянул в комментариях выше...
Добавлю, что "теорема Мермина-Вагнера" имеет в математической статистической механике очень точное (и очень сильное) значение: в размерностях $1$ а также $2$ , при условии, что взаимодействие достаточно быстро затухает с расстоянием, непрерывная симметрия гамильтониана всегда является также симметрией каждой меры Гиббса бесконечного объема. Таким образом, построенная нами мера является добросовестным контрпримером. Однако я согласен (и это даже записано в моем вопросе), что мы ожидаем, что теорема будет выполняться для «разумных» состояний Гиббса . Однако наш пример показывает, что нужно делать предположения о взаимодействии.
просто последний комментарий / вопрос об этом бизнесе плотности энтропии (вместо этого я хотел бы перейти к реальному вопросу, а не к обсуждению этого контрпримера;)). То, что вы считаете, кажется пределом, поскольку $N\to\infty$ конечно-объемных плотностей энтропии. Это стремится к нулю, когда $\delta\to 0$ . Однако я не понимаю, почему плотность энтропии, связанная с предельным состоянием Гиббса, также должна быть равна нулю. В качестве примера, иллюстрирующего это положение, предельная плотность энтропии модели димера в ацтекском алмазе не равна плотности энтропии предельной меры[...]
[...] потому что в конечных ящиках есть макроскопические замороженные области, а предельная мера (в термодинамическом пределе, т.е. топология локальной конвергенции) поддерживается на неупорядоченных димерных конфигурациях.
@Yvan: Ваша интерпретация Мермина-Вагнера неверна --- в точном пределе нулевой температуры есть нарушение симметрии в 2d, и причина точно такая же, как и в вашей модели, исчезновение экстенсивной энтропии. Теорема Мермина-Вагнера говорит, что симметрия является симметрией состояния Гиббса только тогда, когда состояние Гиббса имеет флуктуации. Самое главное понимать, что ваша конструкция работает в 1д, из вашего типа вещей можно получить 1д кристалл дальнего порядка, а Мермин Вагнер еще сильнее в 1д, и совсем тривиально. Поскольку вы задали новый вопрос, я пойду туда, чтобы ответить.
Я очень хорошо понимаю теорему Мермина-Вагнера, спасибо. Вы, кажется, неправильно понимаете само определение состояния Гиббса бесконечного объема, это единственная причина, по которой мы не согласны, я думаю ... Обратите внимание, что состояние Гиббса, которое мы получаем , имеет флуктуации (отличная от нуля дисперсия разности углов между различными спинами). (Или, по крайней мере, это должно следовать из более тщательного анализа в духе нашего доказательства...)
Тем не менее я думаю, что вы неправильно понимаете сам мой вопрос: меня не волнует точный контрпример, который мы привели в статье (и который был просто замечанием в статье). Что меня волнует, так это (не обязательно строгий) математический аргумент, который выводит отсутствие непрерывного нарушения симметрии в ситуациях, когда у вас есть жесткие взаимодействия. Вы мне этого не дали, к сожалению. Как я сказал выше, даже хороший эвристический (но математический!) аргумент в случае недифференцируемых взаимодействий был бы интересен (хотя мы и рассматривали их в статье).
Аргументы Мермина и Вагнера не касаются дифференцируемости микромасштабных потенциалов. Спиновые волны имеют обычную свободную энергию в термодинамическом пределе вдали от ситуаций, когда спины почти полностью заморожены. Я постараюсь строго доказать тот же результат в вашем новом вопросе. Это требует некоторых простых методов перенормировки реального пространства. Методы, которые не перенормируют к усредненному полю спиновых волн, полностью упускают из виду, а жесткое ограничение ядра является артефактом методов конфигурации Microsystems, которые не перенормируют вслепую.
отлично, я с нетерпением жду этого :).