Термодинамический предел «против» метода наискорейшего спуска

Позвольте мне использовать эту лекцию в качестве ссылки.

  • Я хотел бы знать, как в приведенном выше выражении (14) было получено из выражения (12).

В некотором смысле это имеет интуитивно понятный смысл, но я хотел бы знать подробности того, что произошло между этими двумя уравнениями. Дело в том, что если бы не было общего фактора " Н " в уравнении (12), то это был бы "хрестоматийный" случай применения "метода наискорейшего спуска" в асимптотическом пределе "N".

  • Мне интересно, есть ли между ними неписаный аргумент, что в пределе «больших N» человек поглощает Н в пере(не?) определенную меру, а затем выполняя наикрутейший спуск только по экспоненциальной части подынтегрального выражения.

    Я не знаю, как должен применяться «метод наискорейшего спуска» ко всему подынтегральному выражению, если меру не нужно было переопределять.

  • Но опять же, если что-то подобное делается, то почему в уравнении (14) стоит символ аппроксимации?

После принятия термодинамического предела и выполнения наискорейшего спуска не должно ли уравнение (14) превратиться в равенство с суммой по всем мю с которые решают уравнение (15)?

Хотя наивно мне выражение (12) выглядит более подходящим для интерпретации дельта-функции Дирака, поскольку в пределе «больших N» оно выглядит как стандартное представление дельта-функции Дирака, н π е − н 2 Икс

  • Я хотел бы узнать о некоторых комментариях/объяснениях этой общей философии/доказательства, с помощью которых можно сказать, что «метод наискорейшего спуска» точен в «термодинамическом пределе».
Небольшой комментарий к сообщению (v2): Пожалуйста, рассмотрите возможность явного указания автора, названия и т. д. ссылки, чтобы можно было восстановить ссылку в случае ее порчи.

Ответы (1)

Это прямое применение метода наискорейшего спуска. Итак, имеем интеграл (взято из лекций, которые вы цитируете)

Вопрос Н "=" Н β Дж 2 π ∫ − ∞ ∞ г мю е [ Н д ( β Дж , β б , мю ) ]

существование

д ( β Дж , β б , мю ) "=" п ⁡ { 2 чушь ⁡ [ β ( Дж мю + б ) ] } − β Дж мю 2 2 .

Теперь, применив к интегралу метод наискорейшего спуска, вы получите

∂ д ∂ мю "=" β Дж танх ⁡ [ β ( Дж мю + б ) ] − β Дж мю "=" 0.

Давайте позвоним мю с решение этого уравнения и разложить аргумент экспоненты вокруг этого значения. Ты получишь

д ( β Дж , β б , мю ) "=" д ( β Дж , β б , мю с ) − Дж β 2 [ 1 − Дж β ( 1 − мю с 2 ) ] ( мю − мю с ) 2 .

Это показывает, что

Вопрос Н ≈ е Н д ( β Дж , β б , мю с ) Н β Дж 2 π ∫ − ∞ ∞ г мю е − Н Дж β 2 [ 1 − Дж β ( 1 − мю с 2 ) ] ( мю − мю с ) 2

то есть

Вопрос Н ≈ е Н д ( β Дж , β б , мю с ) 1 1 − Дж β ( 1 − мю с 2 )

Обратите внимание, что Н множитель полностью удаляется после интегрирования и остается только в аргументе экспоненты. уравнение (16-18) следуют прямо.

Спасибо за ответ, но я думаю, что мой вопрос был сформулирован нечетко. Я МОГУ видеть, что вы сделали, НО это НЕ то, что я бы подумал, что «метод наискорейшего спуска» делает! Кажется, вы делаете только расширение экспоненты Тейлора. Дело в том, что единственный вид анализа наискорейшего спуска, который я видел, работает с интегралами вида Ф ( с ) "=" ∫ ф ( г ) е с г ( г ) г г в большом с предел. Это не в той стандартной форме. Может быть, есть какая-то другая версия «метода наискорейшего спуска», которую вы имеете в виду, и было бы здорово, если бы вы могли дать ссылку на нее.
Также я хочу знать, как этот (или любой допустимый метод наискорейшего спуска) в этом конкретном примере сможет эффективно использовать «большой N» (термодинамический) предел.
@ user6818: это стандартный учебник. Вы должны прочитать, например, главу VIII в этой прекрасной книге .
Но ЭТО метод наискорейшего спуска (правильнее было бы назвать его Лапласом) и тот, который применялся в тех лекциях. Сначала я нахожу экстремум, а затем расширяю его, и интеграл становится гауссовским, а значит, вычислимым. Просто проверьте en.wikipedia.org/wiki/Laplace%27s_method .
@Jon Хорошо, позвольте мне сказать так: эта конкретная версия «метода наискорейшего спуска», которую вы используете, явно не эквивалентна той, которая знакома мне, скажем, из экспозиции в книге Арфкена и Вебера. Это и тот, который вы сделали, эквивалентны? (.. априори они выглядят далеко друг от друга..) Также в том, что вы делаете, есть ли смысл, в котором вы принимаете термодинамический предел «большого N»? (.. В мышлении Арфкена-Вебера есть понятие асимптотики в методе «наискорейшего спуска», хотя в этом мышлении Лапласа я не вижу никакого понятия асимптотики..)
@Jon Еще один момент, который я подчеркивал в своем первоначальном вопросе, заключается в том, что этот анализ, как и в моем связанном файле, доходит только до получения аппроксимации для интеграла (так же, как вы, кажется, делаете), но я думаю, что утверждение, которое правда, и это также подразумевается в моей связанной статье, заключается в том, что в термодинамическом пределе этот метод наискорейшего спуска фактически точен! Это нетривиальная идея, для которой я ищу объяснение.
@Jon В статье в Википедии они берут М → ∞ предел - но почему? Вот где большая часть путаницы: (1) Зачем нужен символ аппроксимации, если есть асимптотика? Какую бы асимптотику они ни рассматривали, версия Арфена-Вебера не имеет аппроксимации в конце. (2) Могли ли они сделать это на интеграле вида ∫ Н е Н ф ( Икс ) г Икс ? - как в данном случае - я думаю, что это концептуально отличается от аппроксимации интеграла ∫ е Н ф ( Икс ) г Икс а затем сказать, что это дает сокращающий общий коэффициент 1 Н .
@user6818: user6818: Проблема в том, что здесь у вас вообще нет ясной математики. Это повседневный факт, что интеграл такой экспоненты вносит свой самый важный вклад там, где аргумент экспоненты имеет экстремум. Это асимптотическое приближение интеграла, справедливое и для колебательного случая (стационарная фаза). Я призываю вас прочитать какую-нибудь хорошую книгу об асимптотических приближениях, например amazon.com/Asymptotic-Expansions-Dover-Books-Mathematics/dp/… . В данном конкретном случае нужно вычислять именно интеграл.
@ Джон, я не могу согласиться с тобой, что это какой-то стандартный факт. Я не видел этого равенства нигде, где бы я ни видел обсуждение метода наискорейшего спуска. Я спрашивал у разных людей - весьма блестящие студенты! - окружающие меня и они, кажется, тоже этого не знают - хотя все мы где-то пользовались методом наискорейшего спуска.
Термодинамический предел «против» метода наискорейшего спуска
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v