Обоснование отказа от квантования малых дополнительных измерений

Интегралы по существу следуют из того факта, что скаляр Калуцы-Клейна разлагается в ряд Фурье по ортонормированному базису. Это можно понять, если записать$f(y)$явно:

где n может принимать значения между$-\infty$и$\infty$, и$R$— радиус компактифицированного измерения. Тогда уравнения ортонормированности читаются

Для$m=n$, последнее выражение сводится к$n^2/R^2$, где$p_n=n/R$— квантованный импульс в периодическом измерении. Поскольку пятимерный скаляр безмассовый, т.е.$p^{\mu}p_{\mu}+p^2=0$, то с четырехмерной точки зрения существует частица с квадратом массы$M_n^2=-p^{\mu}p_{\mu}$, с$M_n^2=p_n^2=n^2/R^2$.

Наиболее общий случай, конечно, состоит в том, чтобы взять поля в форме$\Phi ( x , y ) = \sum _n \phi _n (x,y)$. Принимая поле за форму,$\Phi ( x , y ) = \sum _n f _n (y) \phi _n (x)$и просто выполняя интеграл по$y$, мы рассматриваем эффективную теорию поля полной теории. Как вы можете ясно видеть, эффект дополнительных измерений был «интегрирован». Физически это означает, что мы по существу игнорируем флуктуации/динамику в дополнительных измерениях и заменяем их их средними значениями.

Это приближение обычно используется в редукции Калуцы-Клейна, когда вы изучаете физику в 4d, и справедливо в масштабах, намного превышающих радиус компактифицированного пространства. Однако вы должны помнить, что это эффективная теория, и вам придется учитывать общий анзац, о котором я упоминал в начале, если вы хотите изучать эффекты в меньших масштабах.

Разве первое интегральное уравнение не является просто предположением ортонормированности, что базисные функции$f_n$должны обладать при попытке расширить с их помощью произвольную функцию, как и базис Фурье$f_n(y)=e^{iny}$, и т. д? Я не уверен, откуда взялось второе уравнение (может быть, вы могли бы дать ссылку), но при условии того же экспоненциального базиса можно найти: