Одномерная модель Изинга с различными граничными условиями

1.

$$\begin{equation} \mathcal{Z}(N+1,+)= \sum_{S_1}...\sum_{S_N} e^{K(S_1S_2+S_2S_3+...+S_{N-1}S_N}e^{KS_N} \end{equation}$$ где $K=\beta J$. Мы определяем новые переменные, $$\begin{equation} \eta_i =S_i S_{i+1}; \quad i=1,2,...,N-1 \end{equation}$$ The $\eta_i$принимает значение: $$\begin{equation} \eta_i= \left\{ \begin{array}{l l} +1 & \quad \text{if} \quad S_i=S_{i+1} \\ -1 & \quad \text{if} \quad S_i \neq S_{i+1} \end{array} \right. \end{equation}$$ Тогда статистическая сумма становится, $$\begin{array} \mathcal{Z}(N+1,+) &= \sum_{S_N}\sum_{\{\eta_i\}} e^{K\sum_{i=1}^{N-1}\eta_i}e^{KS_N} \\ &= \sum_{S_N} \left\{\prod_{i=1}^{N-1}\sum_{\{\eta_i\}} e^{K\eta_i}\right\}e^{KS_N} \\ &= \sum_{S_N} \left(2coshK\right)^{N-1} e^{KS_N} \\ &= \left(2coshK\right)^{N-1} \left(e^K+e^{-K} \right) \\ &= \left(2coshK\right)^{N} \end{array}$$ 2. Аналогичным образом можно показать, что $$\begin{equation} \mathcal{Z}(N+1,+) = \mathcal{Z}(N+1,-) = \left(2coshK\right)^{N}. \end{equation}$$