Точная диагонализация гамильтониана БдГ на конечной решетке

Я хотел бы численно найти краевые моды п Икс + я п у Гамильтониан BdG. Решетчатая версия дается

Н = ∑ [ − т ( с м + 1 , н † с м , н + hc ) − т ( с м , н + 1 † с м , н + hc ) − мю с м , н † с м , н + ( Δ с м + 1 , н † с м , н † + Δ * с м , н с м + 1 , н ) + ( я Δ с м , н + 1 † с м , н † − я Δ * с м , н с м , н + 1 ) ]

где с м , н — оператор аннигиляции спин-поляризованного фермиона на узле (m,n).

Пока я понимаю, как взять эту систему и положить на конечную решетку, если есть только прыжковые члены ( с † с термины), как бы я сделал это для таких терминов, как с † с † ? В частности, я хочу найти спектр этой системы, если она имеет периодические граничные условия в одном направлении и открытые граничные условия в другом.

Ответы (2)

Сначала нужно привести его к следующему виду:

ЧАС "=" Ψ † час Ψ

Здесь Ψ большой вектор-столбец:

Ψ "=" ( … , с м , н , … , с м , н † , … ) Т

В основном первая половина Ψ все операторы уничтожения, а вторая половина - операторы создания. Если количество сайтов Н , размер Ψ является 2 Н . Так час это 2 Н × 2 Н матрица. Чтобы привести его в такой вид, нужно немного поработать, переписать все с я † с Дж срок как − с Дж с я † и т.д. Но это не слишком сложно.

Если ты все сделаешь правильно, час является эрмитовой матрицей, и теперь вы можете перейти к ее диагонализации. Результатом, конечно же, являются энергии боголюбовских квазичастиц, а их формы задаются унитарным преобразованием, диагонализирующим час .

Спасибо @MengCheng, это именно то, что я искал.
@MengCheng Это не всегда работает для поиска квазичастиц, хотя сработает для энергий. Общее унитарное преобразование не всегда сохраняет коммутационные соотношения между фермионными операторами; в частности, если есть вырожденные собственные векторы, это не сработает.
Это будет работать, и это полностью эквивалентно методу, описанному в вашем ответе. Причина в том, что час не является случайной эрмитовой матрицей: она имеет частично-дырочную симметрию.
На самом деле, когда у меня есть периодические граничные условия в одном направлении, вероятно, проще всего использовать спиноры Намбу, т.е. Ψ "=" ( . . . . , с к , н , с − к , н † , . . . . ) а затем численно диагонализовать полученную матрицу. Конечно, я мог бы затем сделать еще одно унитарное преобразование, чтобы привести его к форме, предложенной @MengCheng в терминах операторов рождения-уничтожения квазичастиц.
@Aegon С периодическим граничным условием у вас никогда не будет краевых режимов.
@MengCheng Это 2D-система, и у меня были бы только периодические граничные условия в одном направлении и открытые граничные условия в другом. См., например, arxiv.org/pdf/1105.4700.pdf , где они явно демонстрируют это на рис. 27. Я просто пытаюсь повторить их расчет.
Хорошо, я пропустил эту часть.
@MengCheng Хорошо, так что это похоже на два года спустя, но я недавно вернулся к гамильтонианам BdG и только сейчас понимаю значение симметрии частица-дырка для коммутационных соотношений. Так что запоздалое спасибо за попытку указать мне в правильном направлении.
@MengCheng Хотя теперь, когда я думаю об этом, симметрия частица-дырка не обязательно означает, что вы получаете правильные коммутационные соотношения, если Е "=" 0 сектор вырожденный, не так ли? Потому что нет гарантии, что оба Е "=" 0 решения ортогональны друг другу.
@JahanClaes Если у вас есть вырожденные решения, вы всегда можете сделать их ортогональными. Это вопрос выбора хорошей основы.

Итак: я предполагаю, что вы хотите диагонализовать эту проблему, переписав гамильтониан как ЧАС "=" ∑ Е я д я † д я , где д я являются квазичастичными операторами, подчиняющимися фермионным коммутационным соотношениям.

Если бы мы только имели с † с условия, мы могли бы написать H как

ЧАС "=" ЧАС я Дж с я † с Дж

Тогда мы могли бы доказать, что если { с я } подчиняются фермионным коммутационным соотношениям, то и { U я Дж с Дж } , где U любая унитарная матрица. Мы бы тогда просто диагонализировали ЧАС я Дж с унитарными матрицами, и получаем наш квазичастичный оператор.

С Δ термин, мы больше не можем этого делать, потому что наши операторы квазичастиц, вообще говоря, должны будут комбинировать с я и с я † . Однако есть хитрый способ обойти это.

Определить майорановские операторы γ 2 Дж − 1 "=" с Дж + с Дж † , γ 2 Дж "=" с Дж − с Дж † я . Простой расчет показывает, что { γ а , γ б } "=" 2 дельта а б , и γ † "=" γ . Затем вы можете переписать свой гамильтониан как ЧАС "=" ∑ ЧАС я Дж γ я γ Дж .

Простой расчет показывает, что если О любая ортогональная матрица, то { О я Дж γ Дж } также подчиняются тем же коммутационным соотношениям. Таким образом, вы можете свободно диагонализовать ЧАС я Дж используя ортогональные матрицы, получить набор γ ~ я с, а затем преобразовать их обратно в фермионные операторы.

В качестве примечания, вы не совсем хотите получить ЧАС я Дж в диагональную форму с помощью ортогональных операторов. Вы на самом деле хотите получить его в форме

( 0 е я . . . 0 − е я 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 0 )
так как это гарантирует, что H будет диагональным, когда вы снова преобразуетесь в фермионные операторы.

Я только что дал грубый набросок, это немного сложно, но это сработает. Подробнее см. здесь: http://arxiv.org/pdf/cond-mat/0010440v2.pdf

Кажется, два метода, предложенные вами и МэнЧенгом, почти одинаковы. Тем не менее, меня интересует ваша вычислительная эффективность. Не проще ли найти форму Юлы, чем напрямую диагонализовать гамильтониан? См . en.wikipedia.org/wiki/Skew-symmetric_matrix#Spectral_theory для формы Юлы (это матрица, которую вы дали в своем ответе). Я имею в виду вычислительные ресурсы.
Я считаю (но не уверен), что вычислительная сложность примерно одинакова.
Точная диагонализация гамильтониана БдГ на конечной решетке
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v