Цепь LCR (источник переменного тока) разность потенциалов на конденсаторе

Question

Цепь LCR (источник переменного тока) разность потенциалов на конденсаторе

Анонимный

Для цепи LCR, подключенной к источнику переменного тока ЭДС

Е "=" е грех (ю т)

$E= e\sin(ωt)$ и пусть ток в цепи LCR равен I, тогда

я "=" я * грех (ю т + Φ)

$I=i*\sin(ωt+Φ)$ тогда считается, что падение потенциала на конденсаторе равно V, т.е.

В "=" - я ю С * потому что (ю т + Φ)

$V=-iωC*\cos(ωt+Φ)$ но согласно моему ответу вывода приходит что-то другое. Примечание C — емкость конденсатора. Вывод следующий:

я "=" д д / д т

$I=dq/dt$ dq/dt = скорость увеличения заряда на пластине конденсатора. Примечание q — это заряд на пластине конденсатора.

\int д д "=" \int я д т "=" \int я с я н (ю т + Φ) д т

$∫dq=∫Idt=∫isin(ωt+Φ)dt$

д "=" - (я с о с (ю т + Φ)) / ю + д

$q=-(icos(ωt+Φ))/ω + d$

d постоянная интегрирования

Теперь при t = 0 q = 0, поэтому, подставив условие в уравнение, мы получим d, и наше окончательное уравнение будет

д "=" (я (с о с (Φ) - с о с (ю т + Φ)) / ю

$q=(i(cos(Φ)-cos(ωt+Φ))/ω$

следовательно, разность потенциалов на конденсаторе равна

В "=" (я (с о с (Φ) - с о с (ю т + Φ)) / С ю

$V=(i(cos(Φ)-cos(ωt+Φ))/Cω$

почему в словообразовании появляется лишний термин. Как исключить этот термин

Альфред Центавр

Разве 3-е уравнение не должно быть

V = - \frac{i}{ω C} \cos (ω t + Φ) + \bar{V}

$V = -\frac{i}{\omega C}\cos(\omega t + \Phi) + \bar{V}$ где

\bar{V}

$\bar{V}$ среднее напряжение на конденсаторе (которое обычно равно нулю)? Кроме того, я рекомендую изменить обозначение на что-то более стандартное, например,

i (t) = I_{0} \sin (ω t + ϕ)

$i(t) = I_0\sin(\omega t + \phi)$

Биофизик

Делать

Φ = π / 2

$\Phi=\pi/2$ ?

Анонимный

@AlfredCentauri реактивное сопротивление конденсатора

1 / (ω C)

$1/(\omega C)$

Ответы (1)

Цепь LCR (источник переменного тока) разность потенциалов на конденсаторе

Разве 3-е уравнение не должно быть $V = -\frac{i}{\omega C}\cos(\omega t + \Phi) + \bar{V}$ где $\bar{V}$ среднее напряжение на конденсаторе (которое обычно равно нулю)? Кроме того, я рекомендую изменить обозначение на что-то более стандартное, например, $i(t) = I_0\sin(\omega t + \phi)$
@AlfredCentauri реактивное сопротивление конденсатора $1/(\omega C)$

Ян Эрланд · Answer 1

Итак, мы знаем, что комплексное напряжение на конденсаторе определяется выражением:

\begin{matrix} (1) & {\underline{В}}_{С} "=" {\underline{я}}_{С} \cdot {\underline{Z}}_{С} "=" {\underline{я}}_{в} \cdot \frac{1}{Дж ю С} "=" \frac{{\underline{В}}_{в}}{{\underline{Z}}_{в}} \cdot \frac{1}{Дж ю С} \end{matrix}

$\underline{\text{V}}_{\space\text{C}}=\underline{\text{I}}_{\space\text{C}}\cdot\underline{\text{Z}}_{\space\text{C}}=\underline{\text{I}}_{\space\text{in}}\cdot\frac{1}{\text{j}\omega\text{C}}=\frac{\underline{\text{V}}_{\space\text{in}}}{\underline{\text{Z}}_{\space\text{in}}}\cdot\frac{1}{\text{j}\omega\text{C}}\tag1$

Входное сопротивление определяется выражением:

\begin{matrix} (2) & {\underline{Z}}_{в} "=" р + \frac{1}{Дж ю С} + Дж ю л \end{matrix}

$\underline{\text{Z}}_{\space\text{in}}=\text{R}+\frac{1}{\text{j}\omega\text{C}}+\text{j}\omega\text{L}\tag2$

А комплексное входное напряжение определяется как:

\begin{matrix} (3) & {\underline{В}}_{в} "=" \hat{ты} \cdot опыт (- \frac{π}{2} \cdot я) \end{matrix}

$\underline{\text{V}}_{\space\text{in}}=\hat{\text{u}}\cdot\exp\left(-\frac{\pi}{2}\cdot i\right)\tag3$

Так:

\begin{matrix} (4) & {\underline{В}}_{С} "=" \frac{\hat{ты} \cdot опыт (- \frac{π}{2} \cdot я)}{р + \frac{1}{Дж ю С} + Дж ю л} \cdot \frac{1}{Дж ю С} "=" \frac{\hat{ты} \cdot опыт (- \frac{π}{2} \cdot я)}{1 - ю^{2} КЛ + р ю С Дж} \end{matrix}

$\underline{\text{V}}_{\space\text{C}}=\frac{\hat{\text{u}}\cdot\exp\left(-\frac{\pi}{2}\cdot i\right)}{\text{R}+\frac{1}{\text{j}\omega\text{C}}+\text{j}\omega\text{L}}\cdot\frac{1}{\text{j}\omega\text{C}}=\frac{\hat{\text{u}}\cdot\exp\left(-\frac{\pi}{2}\cdot i\right)}{1-\omega^2\text{CL}+\text{R}\omega\text{C}\text{j}}\tag4$

И, таким образом, выражение времени задается:

В_{С} (т) "=" | {\underline{В}}_{С} | \cdot потому что (ю т + аргумент ({\underline{В}}_{С})) "="

$\text{V}_{\space\text{C}}\left(t\right)=\left|\underline{\text{V}}_{\space\text{C}}\right|\cdot\cos\left(\omega t+\arg\left(\underline{\text{V}}_{\space\text{C}}\right)\right)=$

\begin{matrix} (5) & \frac{\hat{ты}}{\sqrt{(1 - ю^{2} КЛ) + {(р ю С)}^{2}}} \cdot потому что (ю т - \frac{π}{2} - аргумент (1 - ю^{2} КЛ + р ю С Дж)) \end{matrix}

$\frac{\hat{\text{u}}}{\sqrt{\left(1-\omega^2\text{CL}\right)+\left(\text{R}\omega\text{C}\right)^2}}\cdot\cos\left(\omega t-\frac{\pi}{2}-\arg\left(1-\omega^2\text{CL}+\text{R}\omega\text{C}\text{j}\right)\right)\tag5$

Теперь предположим, что $1-\omega^2\text{CL}>0$ , то мы знаем:

В_{С} (т) "=" \frac{\hat{ты}}{\sqrt{(1 - ю^{2} КЛ) + {(р ю С)}^{2}}} \cdot потому что (ю т - \frac{π}{2} - арктический (\frac{р ю С}{1 - ю^{2} КЛ})) "="

$\text{V}_{\space\text{C}}\left(t\right)=\frac{\hat{\text{u}}}{\sqrt{\left(1-\omega^2\text{CL}\right)+\left(\text{R}\omega\text{C}\right)^2}}\cdot\cos\left(\omega t-\frac{\pi}{2}-\arctan\left(\frac{\text{R}\omega\text{C}}{1-\omega^2\text{CL}}\right)\right)=$

\begin{matrix} (6) & \frac{\hat{ты}}{\sqrt{(1 - ю^{2} КЛ) + {(р ю С)}^{2}}} \cdot грех (ю т - арктический (\frac{р ю С}{1 - ю^{2} КЛ})) \end{matrix}

$\frac{\hat{\text{u}}}{\sqrt{\left(1-\omega^2\text{CL}\right)+\left(\text{R}\omega\text{C}\right)^2}}\cdot\sin\left(\omega t-\arctan\left(\frac{\text{R}\omega\text{C}}{1-\omega^2\text{CL}}\right)\right)\tag6$

Может быть больно печатать этот уровень mathjax

Цепь LCR (источник переменного тока) разность потенциалов на конденсаторе

Анонимный

Альфред Центавр

Биофизик

Анонимный

Ответы (1)

Ян Эрланд

Анонимный

В свободной цепи RLC с недостаточным демпфированием, когда ток максимален, напряжение на конденсаторе равно нулю?

Визуализация тока в цепи LCR

π/2π/2\pi/2 фазовый сдвиг в RC цепи

Некоторая путаница в отношении цепей RLC

Усиление как функция частоты (RC-фильтры верхних частот)

Почему постоянная времени RC-цепей рассчитывается именно так?

Бесконечный набор конденсаторов и катушек индуктивности

Ток в индукторе сразу после замыкания ключа

Что именно происходит в фильтрах низких и высоких частот?

Цепь RLC, отключающая источник напряжения