Потенциал Эрнста из редукции Калуцы-Клейна осесимметричного пространства-времени

Следуя приложению A к «Эргорегионам в пространстве-времени намагниченных черных дыр» Г. В. Гиббонса, А. Х. Муджтабы и К. Н. Поупа, начиная с лагранжиана

л "=" р ^ − Ф ^ мю ν Ф ^ мю ν ,
метрика и поле

г с ^ 2 "=" е 2 ф г с 2 + е − 2 ф ( г г + 2 А ) 2 , А ^ "=" А + х ( г г + 2 А ) ,

после редукции Калуцы-Клейна с вектором Киллинга К ≡ ∂ г соответствующей пространственной размерности, мы получаем редуцированный лагранжиан. После использования множителей Лагранжа и дуализации полей получаем

Ф ^ "=" − е 2 ф ⋆ г ψ + г х ∧ ( г г + 2 А ) , е − 2 ф ⋆ Ф "=" г ψ , Ф ≡ г А + 2 х г А ,

где величины в шляпе четырехмерны, ни одно из полей не зависит от г и ⋆ является двойственным по Ходже относительно г с 2 . В конце они определяют комплексный потенциал Эрнста как г Φ "=" я К ( ⋆ ^ Ф ^ + я Ф ^ ) , Φ "=" ψ + я х , где я К это интерьерный продукт от К . я К Ф ^ "=" − г х легко вывести, но г ψ "=" я К ⋆ ^ Ф ^ оказалось не так просто.

Мой вопрос касается этого последнего уравнения. Учитывая, что дет г ^ М Н "=" е 4 ф дет г мю ν , я получаю

я К ⋆ ^ Ф ^ "=" − е 2 ф ⋆ ( Ф + 2 г х ∧ А ) ,
что явно неправильно. Может ли кто-нибудь подсказать об этом последнем уравнении? Это должно быть легко вывести, но я не вижу способа в данный момент.

Ответы (1)

У нас есть я К ⋆ ^ г ψ "=" ⋆ г ψ . Действительно,

я К ⋆ ^ г ψ "=" ( г ψ ) а ϵ ^ а б с г К б "=" ( г ψ ) е г ^ е а е 2 ф ϵ а с г "=" ( г ψ ) е г е а ϵ а с г "=" ⋆ г ψ ,
с ϵ ^ а б с г К б "=" е ^ 0 ∧ е ^ 1 ∧ е ^ 2 ∧ я К е ^ г "=" е 2 ф е 0 ∧ е 1 ∧ е 2 "=" е 2 ф ϵ а с г . Кроме того, личность
я К ⋆ ^ г ψ "=" ⋆ ^ ( г ψ ∧ К )
имеет место, и если мы используем его в определении Ф ^ , мы получаем Ф ^ "=" е 2 ф [ − ⋆ ^ ( г ψ ∧ К ) + г х ∧ К ] , из которого уравнение я К ⋆ ^ Ф ^ "=" − г ψ следует. Заметим, что в статье допущена ошибка со знаком. Собственно, определение Φ неверно, но это становится очевидным, только если попытаться связать его с потенциалами Эрнста.

Потенциал Эрнста из редукции Калуцы-Клейна осесимметричного пространства-времени
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v