Мультиплеты Бетти в компактификациях Калуцы-Клейна

Хорошо известно, что если компактификационное многообразие теории супергравитации имеет ненулевые числа Бетти, это может привести к так называемым мультиплетам Бетти в спектре теории малой размерности. Известный пример — компактификация супергравитации IIB на Т 1 , 1 , где мультиплет Бетти появляется из-за ненулевого второго числа Бетти Т 1 , 1 .

Мой вопрос заключается в следующем: это л 2 -Числа Бетти, которые требуют мультиплетов Бетти в теории малых измерений, или просто нормальные числа Бетти ? В частности, приводят ли числа Бетти, порожденные гладкой (без фиксированных точек) дискретной идентификацией (орбифолдингом) тривиальных многообразий, к мультиплетам Бетти? (На самом деле я даже не уверен, может ли гладкое орбифолдирование тривиальных топологий давать ненулевые числа Бетти.) Есть ли хороший справочник, который я могу изучить для этого?

Ответы (1)

Ни один физик не использует л 2 числами Бетти, и если он не является (полу)профессиональным математиком в то же время, он даже не знает, что это за числа. л 2 Цифры Бетти. Так что в физике, безусловно, важны обычные числа Бетти.

В противном случае компактные (компактные) многообразия всегда имеют некоторые ненулевые числа Бетти. Непонятно, почему вы считаете, что числа Бетти должны быть равны нулю для «орбифолдов тривиальных топологий». Компактные многообразия никогда не имеют «вполне» тривиальных топологий. Сфера С к возможно, его можно рассматривать как топологию с «почти тривиальной» топологией, подобной бесконечному пространству, и она действительно имеет максимальное количество исчезающих чисел Бетти. Но помимо сферы почти все компактные многообразия имеют некоторые ненулевые числа Бетти, даже если мы не считаем б 0 и б г , нуль- и старшемерные.

Характеристика Эйлера имеет тенденцию делиться по порядку группы для орбифолдов, но поведение общих чисел Бетти для орбифолдов может быть очень общим и сложным.

Спасибо за ответ Любош. Поясню, почему я думаю л 2 Числа Бетти должны иметь значение, а не обычные числа Бетти. Начать с раунда С к ( к > 1 ) и имеет тривиальную фундаментальную группу. Теперь гладкое частное круглой сферы по дискретному отождествлению приводит к нетривиальной фундаментальной группе и, следовательно, к ненулевому первому числу Бетти. Однако гладкие частные не приводят к мультиплетам Бетти в безмассовом секторе; С 5 / Z 3 примером является компактификация супергравитации IIB. Следовательно, ненулевое число Бетти не требует мультиплета Бетти, но ненулевое л 2 Число Бетти может
Я думаю л 2 Числа Бетти - это примерно числа Бетти на универсальной обложке (я не уверен, насколько точно или даже правильно это предложение на самом деле). Таким образом, сложностей с процедурами орбифолдинга можно избежать, если говорить об л 2 Числа Бетти.
Прости, Араш, мы не изучаем орбифолды, чтобы «избежать их сложностей». Сложности — орбифолды представляют собой новые интересные решения, и их нельзя упускать из виду — это та самая цель, по которой люди изучают их. Орбифолды, особенно плоские многообразия, по-прежнему ведут к более простому анализу, чем их общие разрешения. Так что совершенно неважно, имеют ли некоторые другие многообразия более простые числа Бетти того или иного вида.
В противном случае ваша статья arxiv.org/abs/arXiv:1304.1540 об орбифолде Z3 «решает» совершенно тривиальную проблему. Спектр SUGRA в орбиобразии — это просто подпространство спектра на накрывающем пространстве, инвариантное относительно действия группы орбифолдов Г . Для Z 3 , это просто означает разделить пространство на 3 возможных собственных значения и выбрать одно. Нетривиальная физика с орбифолдами начинается в скрученных секторах теории струн или, к чему это сводится в пределе SUGRA, в физике возможных разрешений неподвижных точек (особенностей орбифолдов).
Эти неподвижные точки играют важную роль в существовании новых состояний и модифицированных чисел Бетти. Например, числа Бетти четырехторного T4 равны (1,4,6,4,1), но орбифолды T4/Z2 и T4/Z3, если они выполнены правильно, представляют собой многообразия K3, числа Бетти которых равны (1,0,22 ,0,1), очень разные. Некоторые из них уменьшились, некоторые увеличились, и точная природа группы орбифолдов и физика, локализованная вблизи фиксированных точек, были необходимы для «подгонки» исходных чисел Бетти к числам Бетти орбифолдов. Это настоящие числа Бетти (1,0,22,0,1), которые определяют физику K3.
Ваш комментарий об орбифолдах T4 и их связи с K3 был очень интересен.
Я думаю, что я должен исправить свой второй комментарий. Как вы правильно сказали, мы не хотим избегать сложностей с сингулярными орбифолдами, они сами по себе довольно интересны. Я имел в виду, что для гладких орбифолдов нет добавленных безмассовых мультиплетов Бетти, в то время как есть (иногда) добавленные числа Бетти, поэтому сопоставление мультиплетов Бетти с числами Бетти не кажется правильным; но, может быть, поставить мультиплеты Бетти с л 2 Числа Бетти работают.
Теперь я также вижу, благодаря вашим комментариям, что предложение, которое л 2 Числа Бетти являются правильными для использования, требуется, чтобы, когда орбифолдное действие является сингулярным, л 2 Числа Бетти - это "не" просто числа Бетти универсального покрытия (иначе, если покрытие гладкое, мы потеряли бы мультиплеты Бетти в скрученном секторе). Однако я не знаю отношения к универсальному покрытию для сингулярных орбифолдов.
Мультиплеты Бетти в компактификациях Калуцы-Клейна
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v