Угловой момент во вращающейся неинерционной системе отсчета

Предположим, что твердое тело вращается вокруг своего центра масс (ЦМ), а начало инерциальной системы отсчета$F$берется в ЦМ твердого тела. Позволять$F'$быть вращающейся рамкой и$\Omega$угловая скорость$F'$относительно$F$. Если предположить далее, что происхождение$F'$совпадает с$F$, то угловая скорость$\omega'$твердого тела в$F'$просто$\omega'=\omega-\Omega$. Когда$\omega'>0,$это означает, что твердое тело вращается в одном направлении относительно$F'$относительно$F$. и наоборот.

Теперь рассмотрим происхождение$F'$находится не в центре масс твердого тела, имеет место орбитальное движение ЦМ относительно$F'$. Орбитальная скорость$v'$COM относительно$F'$можно найти, используя закон преобразования скорости

$$v=V+\Omega\,\times r'+v',$$ где$v$- вектор скорости ЦМ относительно$F$,$V$- вектор скорости начала координат$F'$относительно$F$,$r'$вектор положения COM относительно$F'$и$v'$- вектор скорости ЦМ относительно$F'$. В этом случае,$v$равно нулю, так как COM определенно не движется относительно$F$и$V$исчезает, если предположить, что поступательная скорость начала координат отсутствует.$F'$относительно$F$. Таким образом, орбитальный угловой момент COM относительно$F'$является $$v'=-\Omega\,\times r',$$ а орбитальный угловой момент COM равен $$L'_{orb}=Mr'\times v',$$ где$M$это масса твердого тела. Полный угловой момент твердого тела относительно$F'$следовательно является $$L'=L'_{orb}+I\omega.$$ Второй член остается, поскольку вращательное движение твердого тела вокруг его ЦМ остается неизменным, если только начало координат не зафиксировано в ЦМ твердого тела.

Это не удержит.

Рассмотрим инерциальную систему$S$с происхождением$O$и еще одна система$S'$с происхождением$O'$. Векторы основания$S'$повернуть относительно векторов основания$S$с угловой скоростью$\mathbb{\Omega}$. Затем,

$$\begin{equation} \mathbf{L}^{O} = \mathbf{L}^{O'} + \mathbf{r_{O'}}^{O} \times \mathbf{P}^{O} + M\mathbf{R}^{O} \times \mathbf{v_{O'}}^{O} - M\mathbf{r_{O'}}^{O} \times \mathbf{v_{O'}}^{O} \end{equation}$$ где верхние индексы относятся к происхождению, откуда это считается, а величины, написанные с заглавной буквы, относятся к положению и скорости центра масс.

Мы можем записать первый член

$$\begin{equation} \mathbf{L}^{O'} = I^{O'}\mathbf{\Omega} \end{equation}$$ получающий $$\begin{equation} \mathbf{L}^{O} = I^{O'}\mathbf{\Omega} + \mathbf{r_{O'}}^{O} \times \mathbf{P}^{O} + M\mathbf{R}^{O} \times \mathbf{v_{O'}}^{O} - M\mathbf{r_{O'}}^{O} \times \mathbf{v_{O'}}^{O} \end{equation}$$

Есть 2 частных случая, в которых это сильно упрощается. Брать$O'$как

• центр масс.

  $$\begin{equation} \mathbf{L}^{O} = I^{CM}\mathbf{\Omega} + \mathbf{R}^{O} \times \mathbf{P}^{O} \end{equation}$$ Угловой момент можно рассматривать как сумму углового момента тела относительно центра масс (спина) и углового момента центра масс относительно$O$(орбитальный).

• точка без скорости относительно$O$.

  $$\begin{equation} \mathbf{L}^{O} = I^{O'}\mathbf{\Omega} + \mathbf{r_{O'}}^{O} \times \mathbf{P}^{O} \end{equation}$$ но если$O'$фиксированный,$S'$является инерционным, и мы могли бы также рассмотреть$O = O'$, в таком случае $$\begin{equation} \mathbf{L}^{O} = I^{O}\mathbf{\Omega} \end{equation}$$