Уловка для получения тензора напряжений в любой теории

В заметках Д. Тонга по теории струн ( pdf ), раздел 4.1.1, он объясняет прием для получения тензора энергии-импульса, который возникает из трансляций в базовом многообразии теории поля (в данном случае на мировом листе). Проблема в том, что я не понимаю, как именно работает процедура. Мне нужно посмотреть на некоторые рабочие примеры.

Может ли кто-нибудь поделиться некоторыми ссылками, в которых я могу подробно прочитать об этом, возможно, с некоторыми работающими примерами?

РЕДАКТИРОВАТЬ: Возможно, я должен объяснить немного больше, где я стою.

Обычно для получения тензора энергии-импульса мы делаем перенос в базовом многообразии, скажем Икс мю в обычной нотации КТП.

Икс мю → Икс ′ мю знак равно Икс мю + ϵ мю
без прямого изменения поля:
ф ( Икс ) → ф ′ ( Икс ′ ) знак равно ф ( Икс )
⇒ дельта ф ( Икс ) знак равно − ϵ мю ∂ мю ф ( Икс )
Итак, в варианте действия есть
дельта С знак равно ∫ р г 4 Икс [ ∂ л ∂ ф дельта ф + ∂ л ∂ ∂ мю ф дельта ∂ мю ф ] + ∫ ∂ р г о мю л ϵ мю
где второй интеграл получается от замены переменных Икс → Икс ′ . Таким образом, после интегрирования по частям первого интеграла мы получаем уравнения Эйлера-Лагранжа, которые дают нуль, и у нас остается
∫ ∂ р г о мю [ л ϵ мю − л ∂ ∂ мю ф ϵ ν ∂ ν ф ( Икс ) ] знак равно ∫ ∂ р г о мю Дж мю
куда Дж мю знак равно л ϵ мю − л ∂ ∂ мю ф ϵ ν ∂ ν ф ( Икс ) должен быть сохранен путем наложения дельта С знак равно 0 . Из Дж мы извлекаем тензор энергии-напряжения:
Θ мю ν знак равно ∂ л ∂ ∂ мю ф ∂ ν ф − л η мю ν
Итак, по-прежнему в нотации QFT Тонг говорит, что продвигает ϵ к функции Икс так что поверхностный интеграл (используя теорему Стокса):
дельта С знак равно ∫ р г 4 Икс ∂ мю Дж мю знак равно ∫ р г 4 Икс ∂ мю ( Θ мю ν ϵ ν ) знак равно ∫ р г 4 Икс [ ∂ мю ( Θ мю ν ) ϵ ν + Θ мю ν ∂ мю ϵ ν ]
но это не совсем то же самое, что ур. 4.3.

Ответы (1)

Хитрость приведена в уравнении 4.4 прилагаемой статьи:

Сначала соедините теорию с гравитацией (путем введения метрического тензора в меру интегрирования и для каждого повышения индекса), получив действие:

С знак равно ∫ М г 4 Икс − грамм л

Затем варьируем действие относительно метрического тензора:

Т α β знак равно 1 − грамм дельта С дельта грамм α β

Затем замените метрический тензор плоским, чтобы вернуться к исходной теории. Полученный тензор энергии напряжений называется тензором энергии напряжений Белинфанте-Розенфельда.

Тензор энергии-импульса Белинфанте-Розенфельда не равен каноническому тензору-энергии-импульса, соответствующему переводам (выведенным из теоремы Нётер), но отличается расходимостью антисимметричного 3-тензора, поэтому будет сохраняться всякий раз, когда канонический сохраняется.

3-тензор — это канонический сохраняющийся ток, соответствующий симметрии Лоренца. Таким образом, для бесспиновых полей оба тензора будут равны.

Тензор энергии-импульса Белинфанте-Розенфельда обычно считается лучшим, поскольку он всегда симметричен и калибровочно инвариантен.

Причина, по которой оба метода дают одинаковые тензоры энергии-импульса («вплоть до полного расхождения»), следующая:

Когда кто-то ковариантизирует теорию, она становится инвариантной относительно диффеоморфизмов. Таким образом, вариация действия относительно диффеоморфизмов обращается в нуль. Теперь эта вариация состоит из вариации из-за полей (материи) и вариации из-за метрики. В плоском пространстве вариация из-за полей представляет собой канонический нётеровский ток из-за трансляций, поэтому вариация относительно метрики должна компенсировать этот вклад. Поэтому, если мы будем варьировать по метрике, сохраняя поля фиксированными, мы получим ту же вариацию с обратным знаком.

Тонкость не получения того же самого тензора энергии-импульса объясняется в следующей статье : Gotay and Marsden. Эта статья содержит несколько примеров вывода симметричного (Белинфанте - Розенфельда) тензора энергии-импульса. Дополнительные пояснения и примеры см. также в следующей статье Форгера и Ромера.

Уловка для получения тензора напряжений в любой теории
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v