Вообще, может ли плотность лагранжиана явно зависеть от пространства-времени?

Прежде чем перейти к теории поля, кажется поучительным сначала задать те же вопросы в точечной механике:

1. Может ли лагранжиан$L(q,v,t)$зависит от времени явно?

Да. Лагранжиан$L(q,v,t)$может явно зависеть от времени. Например, могут быть внешние источники .

С другой стороны, если лагранжиан явно не зависит от времени, то действие обладает трансляционной симметрией времени, что (согласно теореме Нётер) приводит к сохранению энергии. С этого момента будем считать, что это так$^1$.

2. Почему работает энергия $$\tag{1}h~:=~p_{i}\dot{q}^{i}-L,\qquad p_i ~:=~\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i},$$ есть лагранжев член?

Что ж, энергия определяется как заряд Нётер для симметрии переноса времени. Чтобы получить стандартную формулу (1) для функции энергии, нужно было бы пройти через стандартную процедуру/метод Нётер. Это, например, обсуждается в Википедии или в этом посте Phys.SE.

Наконец, приведенные выше рассуждения можно обобщить с точечной механики на теорию поля, где время$t$заменяется точками пространства-времени$x^{\mu}$, а где позиции$q^i(t)$заменяются полями$\phi^{\alpha}(x)$.

--

$^1$Даже в ситуациях с явной зависимостью от времени мы по-прежнему будем использовать формулу (1) в качестве определения функции энергии Лагранжа, хотя она уже не будет константой движения.