Два разных закона преобразования для квантовых полей

Я нашел хороший ответ на проблему, которая беспокоила меня довольно долгое время, в сценарии лекции (к сожалению, на немецком языке). Первый шаг ответа, это то, что остается для меня неясным. В сценарии говорится, что преобразование квантового поля ф можно записать двумя разными способами:

1 ) ф → е я α а Т а ф

с образующими группы симметрии SU(N) Т а и

2 ) ф → е я α а Вопрос а ф е − я α а Вопрос а ,

где Вопрос обозначает заряд Нётер. Учитывая бесконечно малые преобразования, мы имеем

α а Т а Φ "=" [ α а Вопрос а , Φ ]

Это можно использовать, чтобы показать, что два критерия спонтанного нарушения симметрии:

я Вопрос а | 0 >≠ 0

II < 0 | ф | 0 >≠ 0

следуют друг за другом.

Я имею в виду, что вакуум не инвариантен относительно этой симметрии, потому что Вопрос | 0 >≠ 0 → е я Вопрос | 0 >≠ | 0 > . И II означает скалярное поле, с неисчезающим Вакуумным значением ожидания.

Моя проблема заключается в том, чтобы понять, почему существуют два разных закона преобразования для ф , один с использованием заряда Нётер, а другой с использованием генераторов. Я всегда думал, что в QFT мы отождествляем эти два понятия друг с другом: Вопрос ↔ Т (Для доказательства см., например, этот вопрос: Связь между сохраняющимся зарядом и генератором симметрии )

если я не ошибаюсь, 1) это локальное преобразование, а 2) глобальное (по крайней мере, эта разница есть в двух приведенных вами примерах), также Т являются генераторами инфинитезисной группы Ли, а Вопрос это общий заряд
Спасибо за ваш комментарий. Я изменил это в вопросе, чтобы избежать путаницы. В заметках они рассматривают глобальную трансформацию
хорошо, еще Т представляет бесконечно малые генераторы группы Ли, а Вопрос представляет собой общий общий заряд
после последнего редактирования я не вижу разницы, оба Т и Вопрос являются просто разными представлениями одной и той же алгебры Ли образующих групп
Это выглядит так, но не является представлением карты (гомоморфизма) в пространство линейных операторов над векторным пространством: л я н ( В ) . Следовательно, как только мы укажем векторное пространство ф живет, мы знаем, какое представление мы должны воздействовать на него. Два закона преобразования означали бы ф живет в двух векторных пространствах одновременно...?!
не обязательно, поскольку представления являются представлениями в одном и том же пространстве. Можно использовать разные представления одного и того же пространства, и все они связаны через алгебру Ли. Что-то вроде представления той же матрицы при преобразовании координат.
Я никогда не слышал об этом. Если, например, ф живет в касательном пространстве в единице группы (= алгебра Ли), группа действует на элементы этого векторного пространства как г ф г − 1 (генераторы как [ Т а , Φ ] , которое называется присоединенным представлением и соответствует преобразованию 2 ) сверху. Как группа может действовать в этом векторном пространстве по-другому?
хм, я не уверен. оба Т и Вопрос должно быть таким же. Не вижу там разницы. Кроме того, нет другого действия в пространстве, действие осуществляется через алгебру Ли, проблема заключается в представлениях операторов в вашем вопросе.

Ответы (1)

I) Трудно комментировать, не видя учебника, но одна интерпретация состоит в том, что это, по сути, просто вопрос присвоения соответствующих представлений следующим образом. Позволять г — группа Ли с соответствующей алгеброй Ли л . Позволять опыт : л → г быть экспоненциальной картой. Позволять т а е л быть генератором алгебры Ли. Позволять А быть алгеброй с множеством А × обратимых элементов.

II) Пусть

р : г   →   А ×

— гомоморфизм групп Ли. Гомоморфизм групп Ли индуцирует соответствующий гомоморфизм алгебр Ли

р : л   →   А ,

который мы также называем р . Позволять

Вопрос а   "="   р ( т а )   е   А .

III) Рассмотрим представление группы/алгебры Ли

р : г   →   г л ( А , С ) , р : л   →   г л ( А , С ) ,

определяется как

р ( г ) ф   "="   р ( г ) ф р ( г ) − 1 , г е г , ф е А ,
р ( т ) ф   "="   [ р ( т ) , ф ] , т е л , ф е А ,

соответственно. Определять

Т а   "="   р ( т а )   "="   [ р ( т а ) , ⋅ ]   "="   [ Вопрос а , ⋅ ]   е   г л ( А , С ) .

мне кажется очень хорошим
Два разных закона преобразования для квантовых полей
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v