«Обратные» коэффициенты Клебша-Гордана

Если я правильно понимаю, коэффициенты$B$на самом деле являются CG: чтобы быть явным

$$\vert j_1m_1; j_2m_2\rangle = \sum_{J(M)} C^{j_1j_2J}_{m_1m_2M} \vert JM\rangle$$ Обратите внимание на сумму $M$на самом деле не сумма, как $M$должен удовлетворить $M=m_1+m_2$.

Лучший способ увидеть это — начать с$\vert j_1m_1; j_2m_2\rangle$и просто вставьте блок$I=\sum_{JM}\vert JM\rangle\langle JM\vert$. Затем у одного есть

$$\vert j_1m_1; j_2m_2\rangle=\sum_{JM}\vert JM\rangle\langle JM\vert j_1m_1;j_2m_2\rangle$$ с $$\langle JM\vert j_1m_1;j_2m_2\rangle = \langle j_1m_1;j_2m_2\vert JM\rangle = C^{j_1j_2J}_{m_1m_2M}$$ так как CGs реальны.

То, как вы задаете вопрос сейчас, это не может быть сделано. Это потому, что если ты скажешь мне$J$и$M$, есть много способов$j_1$и$j_2$чтобы добраться до этого. Если полный угловой момент равен$0$, например, то существует бесконечное количество возможностей для$j_1$и$j_2$чтобы заставить меня$0$. У них обоих может быть спин 1/2, или у них обоих может быть спин 1. Или у них обоих может быть спин 42.

Однако если указать, что$j_1$и$j_2$равны, то коэффициенты Клебша-Гордана легко обратить, если понять, что они образуют ортогональные отношения.

По сути:

$$|j_1, m_1, j_2, m_2\rangle = \sum_{J,M'} |J,M\rangle \langle J,M | j_1, m_1, j_2, m_2\rangle$$

где государства$|J, M\rangle$ограничены теми, которые вы действительно можете сформировать из$j_1$и$j_2$.

И, ну, этот брекет - это просто коэффициент Клебша-Гордана.$C_{m_1, m_2, M}^{j_1, j_2, J}$. Ну, технически это его комплексное сопряжение, но поскольку коэффициенты являются вещественными в типичном фазовом соглашении, это различие не имеет значения.

Коэффициенты Клебша-Гордана содержат достаточно информации для вычисления обратного, поскольку

$$\langle j_1 j_2 m_1 m_2 | jm \rangle = C^{j_1, j_2, j}_{m_1, m_2, m}.$$ Сопрягая, матричные элементы, которые вы ищете, $$\langle jm | j_1 j_2 m_1 m_2 \rangle = (C^{j_1, j_2, j}_{m_1, m_2, m})^*.$$