Почему sl(2,C)sl(2,C)sl(2,\mathbb{C}), повышающие и понижающие операторы J±J±J_{\pm}, гарантируют квантование собственных значений?

Я изучал квантовую механику, в частности угловой момент, но у меня есть вопрос, который касается операторов повышения и понижения в целом. Для полного углового момента можно определить:

Дж ± "=" Дж Икс ± я Дж у
Любой, кто знаком с угловым моментом, узнает в них операторы повышения и понижения, но я продолжу рассмотрение проблемы, чтобы лучше объяснить свой вопрос.

Анализ этой проблемы показывает, что:

[ Дж г , Дж ± ] "=" ± ℏ Дж ±
[ Дж 2 , Дж ± ] "=" 0
Отсюда легко видеть, что если Дж г | α β ⟩ "=" β | α β ⟩ , и Дж 2 | α β ⟩ "=" α | α β ⟩ ,
Дж г ( Дж + | α β ⟩ ) "=" ( Дж + Дж г + ℏ Дж + ) | α β ⟩ "=" ( Дж + β + ℏ Дж + ) | α β ⟩ "=" ( β + ℏ ) Дж + | α β ⟩
И таким образом мы можем сказать Дж + | α β ⟩ "=" С | α , β + ℏ ⟩ .

Однако, хотя этот подход очень точен, на мой взгляд, он не совсем точно показывает, что собственные значения Дж г существуют только в приращениях ℏ . Например, если бы я мог найти произвольный набор операторов Вт ± , такой, что [ Дж г , Вт ± ] "=" ± ( ℏ / 4 ) Вт ± , то я мог бы легко показать с помощью приведенной выше логики, что собственные значения Дж г существуют с шагом ℏ / 4 . Тогда какие гарантии, что я не найду таких операторов? В частности, какая часть метода «оператора повышения и понижения» гарантирует, что возможных собственных значений оператора не больше. Дж г (или любой оператор), чем найденные с использованием операторов повышения и понижения?

Ответы (2)

Формальный ответ лежит в теории представлений, в данном случае в теории представлений алгебры Ли. с ты ( 2 ) , натянутый тремя операторами Дж г , Дж + , Дж − . что больше нет собственных значений Дж г чем найденные методом лестничных операторов, следует из двух фактов:

  1. Каждое представление с ты ( 2 ) вполне разложим, т. е. представляет собой прямую сумму неприводимых представлений.

  2. Неприводимые представления с ты ( 2 ) являются в точности «спиновыми представлениями» физики, помеченными полуцелым наибольшим собственным значением («наивысший вес») с из Дж г , которые имеют размерность 2 с + 1 , состоящий из состояний с собственными значениями − с , − с + 1 , … , с − 1 , с .

с должно быть полуцелым, потому что можно прямо показать, что если с является наибольшим весом, то наименьшее собственное значение равно − с , и если бы разница между наибольшим и наименьшим весом не была целым числом, мы могли бы достичь еще меньшего веса, применяя оператор понижения к состоянию с наибольшим весом.

  1. Не существует комбинации операторов углового момента , удовлетворяющих такому условию, как [ Дж г , Вт ± ] "=" ± ( ℏ / 4 ) Вт ± . Единственные возможные лестничные операторы, построенные из Дж Икс и Дж у являются Дж ± , а их коммутационные соотношения [ Дж г , Дж ± ] "=" ± ℏ Дж ± , что означает, что соседние м значения отличаются на 1 . (Поскольку у нас есть только Дж Икс , Дж у и Дж г играть, нетрудно показать, что [ Дж г , Дж ± ] "=" ± ℏ Дж ± : просто начните с общего Дж + "=" а л Икс + б л у и вы обнаружите, что б "=" ± я а . Фактическая стоимость а не имеет значения для расчета сдвига в м .)
  2. Можно для оператора А ^ удовлетворить (например) [ Дж г , А ^ ] "=" 2 ℏ А ^ . Примером может служить любой оператор, пропорциональный ( Икс + я у ) 2 . Действие этого оператора меняется м к + 2 ℏ но А ^ НЕ является оператором углового момента.
  3. Операторы углового момента имеют алгебраическую структуру Ли, и из теории представлений алгебр Ли мы знаем, что множество { | Дж м ⟩ } должен содержать 2 Дж + 1 элементы и должны содержать м "=" Дж и м "=" − Дж . Таким образом, лестница с помощью операторов лестницы углового момента может измениться только м на одну единицу ℏ .
Почему sl(2,C)sl(2,C)sl(2,\mathbb{C}), повышающие и понижающие операторы J±J±J_{\pm}, гарантируют квантование собственных значений?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v