Фиксация фазы коэффициентов Клебша-Гордана для jjjs меньше максимального значения

Коэффициенты CG обычно определяются путем сначала построения наивысшего состояния в каждом ирреанимации, т. е. состояния, для которого$M=J$. Это состояние определяется требованием, что оно должно быть убито$L_+$, т.е.

$$L_+\vert \ell ,s,j,j\rangle=0$$ Отсюда можно получить рекурсивное соотношение для всех CG, необходимых для высшего состояния $\vert \ell ,s,j,j\rangle$, и эта рекурсия может быть полностью определена в терминах $C^{\ell,m_s}$с $m_s=j-\ell$. Этого достаточно, чтобы зафиксировать относительные фазы ЦТ для высшего состояния, но не общую фазу. На известном примере $\ell=1/2$и $s=1/2$, Штаты $$\vert 00\rangle_\pm=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \vert \textstyle\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle \vert \frac{1}{2} ,-\frac{1}{2}\rangle -\vert \frac{1}{2} ,-\frac{1}{2}\rangle \vert \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle \right)\, . \tag{1}$$ оба убиты $L_+=L_+^{(1)}+L_+^{(2)}$.

Коэффициент$C^{\ell,m_s}$часто оценивается с использованием условия нормализации, поэтому его знак может быть произвольным. Обычное фазовое соглашение Кондона-Шортли состоит в том, чтобы выбрать положительным коэффициент$C^{\ell,m_s}$государства$\vert \ell,\ell\rangle \vert s,j-\ell\rangle$, т.е. сохранить$\vert 00\rangle_+$состояние в примере (1). Это фазовое соглашение является наиболее часто используемым.

Как только относительные фазы этого высшего состояния установлены, фаза других коэффициентов с$m_j\ne j$следуют из действия понижающего оператора.

Нет ничего более широко принятого, чем соглашение Кондона-Шортли для фазы CG для представлений других (ли) алгебр, vg$su(3)$. В самом деле, нет согласия даже в отношении знаков образующих матричных элементов, хотя схема Гельфанда Цейтлина в качестве ассоциированных матричных элементов часто принимается (эта схема может стать громоздкой для алгебраических манипуляций).

Общая процедура остается прежней: найдите наивысшее состояние, потребовав его уничтожения всеми повышающими операторами, зафиксируйте знак одного начального коэффициента рекурсии для наивысшего состояния и используйте понижающие операторы, чтобы получить оставшиеся коэффициенты.

Beyond Mathematica (со встроенной функцией ClesbshGordan для$su(2)$случай), есть веб-интерфейс для численного вычисления$su(N)$CG для любого$N$с использованием базиса Гельфанда-Цейтлина.

Здесь есть некоторая двусмысленность, потому что состояния$\left|1,\tfrac12, \tfrac12,\tfrac12\right>$и$\left|1,\tfrac12,\tfrac32,\tfrac12\right>$живут в разных представлениях, и если применить глобальную фазу ко всему$j=1/2$представление о последствиях будет весьма ограниченным. Тем не менее, поскольку мы хотим иметь единственное однозначное определение коэффициентов Клебша-Гордана (как дано, например, в главе 34 DLMF , в частности, в уравнениях 34.1.1 и 34.2.4), нам необходимо зафиксировать эту фазу.

Основной критерий для этого дан в §3.4 книги Эдмондса « Угловой момент в квантовой механике» , и вкратце он заключается в том, что вы требуете, чтобы

Все матричные элементы$J_{1x}$которые недиагональны в$j$действительны и неотрицательны.

Это предполагает условие, что если зафиксировать фазу$m_J=j$состояние с использованием матричного элемента в одно состояние в другом$j$представление, то все возможные матричные элементы между двумя представлениями также будут обладать этим свойством. Это нетривиально, и доказательство есть у Эдмондса, но повторять его здесь нет смысла.

Если вы хотите перепроверить свою работу, один удобный прием — это вычисление коэффициента в Mathematica (например, как ClebschGordan[{1/2, 1/2}, {1, 0}, {1/2, 1/2}] , или, в более общем смысле, используя синтаксис ClebschGordan[{j1, m1}, {j2, m2}, {j, m}]), или попросив Wolfram Alpha сделать этот расчет за вас .