Разве сложение углового момента не должно быть коммутативным?

У меня есть угловой момент$S=\frac{1}{2}$для отжима и$I=\frac{1}{2}$для углового момента ядра, который я хочу добавить, используя базис Клебша-Гордана , поэтому преобразование выглядит так:

$$\begin{align} \lvert 1,1\rangle &= \lvert\bigl(\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\bigr)\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\rangle,\tag{4.21a} \\ \lvert 1,0\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\biggl(\lvert\bigl(\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\bigr)\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\rangle + \lvert\bigl(\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\bigr),-\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\rangle\biggr),\tag{4.21b} \\ \lvert 1,-1\rangle &= \lvert\bigl(\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\bigr),-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\rangle,\tag{4.21c} \\ \lvert 0,0\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\biggl(\lvert\bigl(\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\bigr)\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\rangle - \lvert\bigl(\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\bigr),-\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\rangle\biggr),\tag{4.21d} \end{align}$$

где$F=I+S$, так что это основа$\lvert F m_F \rangle = \sum_m \lvert\bigl(I S\bigr),m_I m_S\rangle$.

Теперь, поскольку добавление угловых моментов коммутативно, обмен между$I$и$S$не должен математически вводить какую-либо разницу.

Другими словами, в основе, описанной в этих уравнениях, не должно иметь значения, пишу ли я это как$\lvert\bigl(I S\bigr),m_I m_S\rangle$или$\lvert\bigl(S I\bigr),m_S m_I\rangle$, верно?

Теперь проблема в следующем: я создал гамильтонову матрицу$H=-\vec{\mu}\cdot \vec{B} = -2 \mu B_z S_z/\hbar$в$\lvert F m_F \rangle$представление, и на самом деле результат зависит от того, как вы называете эти угловые моменты, поэтому результат может быть

$$H = \begin{pmatrix} \mu_B B & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \mu_B B & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &\mu_B B \\ 0 & 0 & \mu_B B & 0 \end{pmatrix}$$

Или может быть

$$H = \begin{pmatrix} \mu_B B & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \mu_B B & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &-\mu_B B \\ 0 & 0 & -\mu_B B & 0 \end{pmatrix}$$

В зависимости от того, как вы их «обозначаете»,$I$или$S$... что очень сбивает с толку!

Это происходит потому, что недиагональные члены

$$\left\langle 1 0 \right| S_z \left| 0 0 \right\rangle = \frac{1}{2} \left( \left\langle (\frac{1}{2} \frac{1}{2}) \frac{1}{2} -\frac{1}{2} \right| + \left\langle (\frac{1}{2} \frac{1}{2}) -\frac{1}{2} \frac{1}{2} \right| \right) S_z \left( \left| (\frac{1}{2} \frac{1}{2}) \frac{1}{2} -\frac{1}{2} \right\rangle - \left| (\frac{1}{2} \frac{1}{2}) -\frac{1}{2} \frac{1}{2} \right\rangle \right)$$

будет либо$\hbar/2$или$-\hbar/2$в зависимости от вашего соглашения, является ли это$\lvert\bigl(I S\bigr),m_I m_S\rangle$или$\lvert\bigl(S I\bigr),m_S m_I\rangle$.

Как я могу понять это физически и математически? Разве сложение не должно быть коммутативным, а процесс не должен зависеть от того, какие ярлыки я использую?