Задача Эйлера-Лагранжа подразумевает Ньютона

Question

Задача Эйлера-Лагранжа подразумевает Ньютона

Мед Саад Алами

Я изучаю механику самостоятельно, и у меня есть небольшая проблема:

Мы можем видеть это в книге Ландау или в Википедии, что когда мы вводим лагранжиан в уравнение Эйлера-Лагранжа, член $\frac{\partial v²}{\partial q}$ исчезнуть. Итак, мы получаем $\frac{\partial L}{\partial q}= - \frac{\partial U}{\partial q}$

здесь подробнее:

Мы хотим доказать, что из уравнения Эйлера-Лагранжа следует закон Ньютона:

Уравнение Лагранжа Эйлера утверждает, что $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial L}{\partial q}$

И $L= T-V(q)= \frac{1}{2}mv² - V(q)$

Но если мы введем L в уравнение Эйлера-Лагранжа, мы получим

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = m\frac{dv}{dt} - \frac{d}{dt}\frac{\partial V}{\partial \dot{q}}$

И $\frac{\partial L}{\partial q} = \frac{1}{2}m\frac{\partial v²}{\partial q} + F$

В книге Ландау термины $\frac{\partial V}{\partial \dot{q}}$ и $\frac{1}{2}m\frac{\partial v²}{\partial q}$ Исчезнуть без каких-либо объяснений

Почему эти термины исчезают?

Qмеханик

Возможные дубликаты: physics.stackexchange.com/q/885/2451 , physics.stackexchange.com/q/11497/2451 , physics.stackexchange.com/q/123167/2451 и ссылки в них.

Ответы (3)

Задача Эйлера-Лагранжа подразумевает Ньютона

Возможные дубликаты: physics.stackexchange.com/q/885/2451 , physics.stackexchange.com/q/11497/2451 , physics.stackexchange.com/q/123167/2451 и ссылки в них.

Кто-то · Answer 1

Кто-то

Первый член исчезает, потому что вы предположили, что потенциал не зависит от $\dot{q}=v$ (как вы сказали, $V(q)$ ). Второй член исчезает, потому что скорость и положение независимы.

Мед Саад Алами

Но предположим, например, что мы имеем дело с простым маятником. Если решить ДЭ, то получим:

θ = a c o s (w t + φ)

$\theta = acos(wt+\varphi )$ , поэтому мы можем найти функцию f такую, что:

t = f (θ)

$t = f(\theta )$ и

\frac{d θ}{d t} = - a w s i n (w t + φ)

$\frac{d\theta }{dt}= - awsin(wt+\varphi )$ Таким образом

\dot{θ} = - a w s i n (w f (θ) + φ)

$\dot{\theta}= - awsin(wf(\theta)+\varphi )$ и таким образом мы будем иметь

\frac{\partial L}{\partial θ} = \frac{1}{2} m l \frac{\partial \dot{θ ²}}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial θ} - m g l s i n (θ)

$\frac{\partial L }{\partial \theta} = \frac{1}{2}ml\frac{\partial \dot{\theta²} }{\partial f}\frac{\partial f}{\partial \theta} -mglsin(\theta)$ . Так почему термин

\frac{1}{2} m l \frac{\partial \dot{θ ²}}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial θ}

$\frac{1}{2}ml\frac{\partial \dot{\theta²} }{\partial f}\frac{\partial f}{\partial \theta}$ исчезнуть?

пользователь12029

@MedSaâdAlami Уравнения Ньютона специально записываются как

m \ddot{x} = - U^{'} (x)

$m\ddot{x}=-U'(x)$ , где

x

$x$ является координатой в вашей евклидовой системе. Если вы хотите доказать уравнения Ньютона, вам лучше написать

L

$L$ сначала в евклидовых координатах. (Поэтому маятник добавляет дополнительную степень сложности, потому что теперь есть сила ограничения, когда вы возвращаетесь к евклидовым координатам!)

пользователь12029

@MedSaâdAlami, так что, конечно, этот термин не исчезает. Но если бы он исчез, что бы это дало вам? (Также,

θ = a \cos (ω t)

$\theta=a \cos(\omega t)$ не решает простую задачу маятника, она решает простую задачу гармонического осциллятора.) Для справки, я думаю, что доказательство законов Ньютона из принципа наименьшего действия дано в L&L как уравнение 5.3. Это так просто, потому что первым шагом в этом будет написание

L

$L$ в форме 5.1.

пряжа · Answer 2

Лагранжиан в простейшем случае определяется как функция $q$ , $\dot{q}$ и $t$ : $L(q,\dot{q},t)$ . Это обозначение означает, что $q$ , $\dot{q}$ и $t$ по определению являются независимыми переменными. Вот как вы должны интерпретировать частные производные, чтобы $q$ и $\dot{q}$ , нет смысла писать: $q = f(\dot{q})$ , потому что обе считаются независимыми переменными в лагранжиане. Это просто функция трех переменных, поэтому $\frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial \dot{q}}$ математически то же самое, что и $\frac{\partial L(x,y,t)}{\partial y}$ где мы заменили $q$ к $x$ и $\dot{q}$ к $y$ : это производная от второй переменной функции.

Конечно, когда вы решите проблему и найдете $q(t)$ вы можете найти отношение для этого решения между $q$ и $\dot{q}$ : $q = f(\dot{q})$ , но это не меняет того факта, что вы должны учитывать переменные $L$ выше как независимое, это решение не имеет ничего общего с независимыми переменными лагранжиана.

Итак, при использовании формулы Лагранжа:

\frac{г}{г т} \frac{\partial л (д, \dot{д}, т)}{\partial \dot{д}} "=" \frac{\partial л (д, \dot{д}, т)}{\partial д}

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial q}$ идея в том, что для частных производных вы просто смотрите на

q

$q$ и

\dot{q}

$\dot{q}$ как независимые переменные, пренебрегая возможными решениями, которые вы можете иметь в виду. Вычисление этих производных приведет к новым функциям

q

$q$ ,

\dot{q}

$\dot{q}$ и

t

$t$ , фи:

F (q, \dot{q}, t) = \frac{\partial L (q, \dot{q}, t)}{\partial \dot{q}}

$F(q,\dot{q},t) =\frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial \dot{q}}$ . Затем вам нужно вычислить полную производную

t

$t$ из

F

$F$ : для этого вы должны заменить возможное решение

q (t)

$q(t)$ , т.е.

F \circ q = F (q (t), \dot{q} (t), t) = G (t)

$F \circ q = F(q(t),\dot{q} (t),t) = G(t)$ , результат является функцией только

t

$t$ , только при вычислении этой полной производной можно использовать зависимость между

q

$q$ и

\dot{q}

$\dot{q}$ потому что вы должны вставить возможное решение.

Альфред Центавр · Answer 3

Почему эти термины исчезают?

Если

л "=" \frac{м в^{2}}{2} - В (д) "=" \frac{м (\dot{д})^{2}}{2} - В (д)

$L = \frac{mv^2}{2} - V(q) = \frac{m(\dot q)^2}{2} - V(q)$

Затем

\frac{\partial л}{\partial \dot{д}} "=" м \dot{д}

$\frac{\partial L}{\partial \dot q} = m \dot q$

Почему? Потому что $V(q)$ является функцией $q$ таким образом, частная производная от $V$ в отношении $\dot q$ равен нулю.

Сходным образом

\frac{\partial л}{\partial д} "=" - \frac{\partial В}{\partial д}

$\frac{\partial L}{\partial q} = -\frac{\partial V}{\partial q}$

Почему? Потому что $\frac{m(\dot q)^2}{2}$ является функцией $\dot q$ таким образом, частная производная от $\frac{m(\dot q)^2}{2}$ в отношении $q$ равен нулю.

Хорошо, я понял это... но вопрос не так прост, как вы думаете: почему $q$ и $\dot{q}$ должны быть независимыми?
@MedSaâdAlami, они не независимы, но, как я уже писал и подчеркивал, это частные производные.
Итак, если они не независимы, мы можем написать, например, $q=f(\dot{q})$ и у нас будет $\frac{\partial V(q)}{\partial \dot{q}}= \frac{\partial V(f(\dot{q}))}{\partial q} = \frac{\partial V(f(\dot{q}))}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial \dot{q}}$ ... Так ? как сделать вывод? (я думаю, что это что-то об исчислении, которого я не понимаю)

Задача Эйлера-Лагранжа подразумевает Ньютона

Мед Саад Алами

Qмеханик

Ответы (3)

Кто-то

Мед Саад Алами

пользователь12029

пользователь12029

пряжа

Альфред Центавр

Мед Саад Алами

Альфред Центавр

Мед Саад Алами

Уравнение Эйлера-Лагранжа с логарифмическим потенциалом

Лагранжева калибровочная инвариантность L′=L+df(q,t)dtL′=L+df(q,t)dtL’=L+\frac{df(q,t)}{dt}

Проверка второго типа уравнений лагранжевой механики

Вывод уравнений Эйлера-Лагранжа в "Механике" Ландау и Лифшица

Уравнения Лагранжа движения при качении шара на поворотном столе

Множители Лагранжа для простого маятника

Лагранжиан в неинерциальной системе отсчета

Применение уравнений Эйлера-Лагранжа (Тривиальная задача, поучительная)

Как обращаться с лагранжианом в случае твердого тела?

Помогите с символами Кристоффеля для задачи геометрической механики?