Уравнение Клейна-Гордона в черепаховых координатах

Исходная метрика в статье определяется как

$$ds^2 = -f(r)dt^2 + \frac{dr^2}{f(r)} +r^2 d \theta^2 + r^2 \sin^2 \theta \, d\phi^2.$$

Поскольку метрика диагональная,$g_{ab}$и$g^{ab}$следовать прямо. В искривленном пространстве волновой оператор задается оператором Лапласа-Бельтрами,$\nabla_a \nabla^a u$который для скаляра можно упростить до,

$$\nabla^2 u = \frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial_a (\sqrt{|g|}g^{ab}\partial_b u).$$

В нашем случае$\sqrt{|g|} = r^2 \sin \theta$. Мы можем расширить оператор как,

$$\nabla^2 u = \frac{1}{r^2 \sin \theta} \left[ \partial_t \left( -\frac{r^2\sin\theta}{f(r)} \partial_t u\right) + \partial_r\left( r^2 f(r) \sin\theta\, \partial_r u\right)+\partial_\theta \left( \sin\theta \, \partial_\theta u\right) + \partial_\phi \left(\csc \theta \, \partial_\phi u \right)\right]$$ $$=-\frac{1}{f(r)}\partial^2_tu + \frac{1}{r} \left\{ \left( 2f(r) + r f'(r) \right)\partial_r u + r f(r)\partial^2_r u\right\} + \frac{1}{r^2} \left( \cot \theta \, \partial_\theta u + \partial^2_\theta u\right) + \frac{1}{r^2}\csc^2\theta \, \partial^2_\phi u.$$

Таким образом, мы получаем явное дифференциальное уравнение для$u(t,r,\theta,\phi)$. Если предположить,$u = u(t,r)$только тогда уравнение значительно упрощается до

$$\nabla^2 u(t,r) = -\frac{1}{f(r)}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + \left( \frac{2f(r)}{r} + f'(r)\right)\frac{\partial u}{\partial r} + f(r)\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}.$$

Теперь достаточно подключить,$u(t,r) = \frac{1}{r}R(t,r)$а затем сделать замену координат на$r_*$определяется соотношением,

$$\frac{dr_*}{dr}=\frac{1}{f(r)}.$$