Уравнение зависимости линейного ускорения от углового ускорения

Вы ошиблись, предположив, что угловое ускорение ($\alpha$) равно$v^2/r$что на самом деле является центростремительным ускорением . Проще говоря, угловое ускорение — это скорость изменения угловой скорости, которая, в свою очередь, является скоростью изменения угла.$\theta$. Это очень похоже на определение линейного ускорения.

Как и линейное ускорение$F/m$, угловое ускорение действительно$\tau/I$,$\tau$являющийся крутящим моментом, а I - моментом инерции (эквивалентным массе).

Я также смущен тем, что именно представляет собой «V» (тангенциальная скорость) и как она используется. Это вектор, величина которого равна количеству радианов, на которое должна вращаться любая точка многоугольника?

Тангенциальная скорость тела, движущегося с постоянной скоростью по окружности, равна его обычной скорости. Название происходит от того, что эта скорость идет по касательной к окружности (путь движения тела). Его величина равна скорости, с которой он движется по окружности. Геометрически можно показать, что$v = r\omega$.

$a_c = \frac{v^2}{r}$не угловое ускорение. Это величина линейного ускорения по направлению к центру объекта, движущегося по круговой траектории с постоянной угловой скоростью. Угловое ускорение является производной от угловой скорости, а аналог второго закона Ньютона состоит в том, что угловое ускорение равно крутящему моменту, деленному на момент инерции.

Всегда начинайте с единиц. Они многое расскажут вам об уравнениях и позволят исправить ошибки согласованности. Между прочим, именно поэтому я предпочитаю обозначения Лейбница, а не Ньютона для производных, единицы измерения сразу же определяются путем изучения производной, например$dx/dt$имеет единицы расстояния с течением времени, предполагая обычное определение$x$и$t$.

В этом случае угол,$\theta$, является эквивалентом пройденного расстояния в линейной кинематике и измеряется в радианах (${rad}$). (Радианы, будучи меньше единицы, в некоторой степени являются заполнителями, но заполнители могут быть очень полезными, поэтому имейте их в виду.) Итак, тогда скорость изменения угла по отношению ко времени,$\omega$, имеет единицы${rad}/s$. Угловое ускорение,$\alpha$, тогда будут единицы${rad}/s^2$.

Имея их в виду, вы можете сразу сказать, что$a_c = \frac{v^2}{r}$не угловое ускорение, а линейное ускорение, как описано Питером . Точно так же угловое ускорение напрямую связано не с силой, а с крутящим моментом,$\tau = I \alpha$, где$I$есть момент инерции. (С математической точки зрения момент инерции — это второй момент распределения масс, тогда как центр масс — это первый момент.) Крутящий момент имеет единицы${kg}\ m^2/s^2$, где радианы были опущены. Обратите внимание, что он имеет единицы энергии, или$(Force)(distance)$, и$\tau = r \times F$.

На любой кривой одного параметра в$\mathbb{R}^n$,$n\geq2$, производная по этому параметру всегда касается кривой. Производная буквально показывает нам, как изменится позиция. С точки зрения физики вы можете думать об этом как о присоединении векторов скорости и ускорения к самому движущемуся объекту, как при рисовании диаграммы свободного тела.

Чтобы быть конкретным, для равномерного кругового движения положение

где$R$это радиус окружности,$\hat{i}$и$\hat{j}$единичные векторы в$x$и$y$направлений соответственно, а скорость

Обратите внимание, что скорость перпендикулярна положению, которое является свойством кругового движения. Исходя из этого, вы сможете математически продемонстрировать, что ускорение перпендикулярно скорости и антипараллельно положению. Я оставлю вас с проблемой понимания того, почему это имеет смысл и физически.