Период крутильных колебаний

Существует множество различных примеров колебательных систем, имеющих, по существу, одинаковую математическую форму. Давайте начнем с простого рассмотрения одного типа дифференциального уравнения:

$a = \frac{d^2 x}{dt^2} = -\omega^2 x$

Это уравнение имеет общее решение (вы можете проверить это)

$x(t) = A \sin (\omega t + \phi)$

который колеблется с периодом$T=2\pi/\omega$так как система будет находиться в точно таком же состоянии в любое время$t$и$t + 2\pi/\omega$. Так что теперь, если мы найдем физические системы, описываемые уравнением ускорения, которое выглядит так, мы точно знаем, каково решение.

Например, в системе с массовыми пружинами мы бы имели

$ma=-kx \rightarrow \frac{d^2 x}{dt^2} = -\left(\frac{k}{m}\right) x$

точно такая же форма, как у нас была раньше с$\sqrt{\frac{k}{m}}=\omega$, поэтому, подставив это в наше уравнение для периода, мы получим$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

То же самое относится и к вашему торсионному маятнику, вы меняете положение$x$с угловым положением$\theta$(это не меняет способа решения дифференциального уравнения) и иметь

$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\left(\frac{C}{I}\right) \theta = -\omega^2 \theta$

как ваше дифференциальное уравнение с$\omega = \sqrt{\frac{C}{I}}$, у него такое же решение, и подключение этого$\omega$в вашу формулу периода вы получаете

$T=2\pi \sqrt{\frac{I}{C}}$

Это показывает, что как только вы решите общую форму дифференциального уравнения одного типа, вы можете применить его к любому другому типу системы, которая имеет ту же форму для своего уравнения (это также используется в цепях, возмущениях орбиты или почти во всем). то, что немного отодвинуто от стабильного положения равновесия)

Что касается «основного вопроса», т.$2\pi$значение используется, так как это представление полного цикла в радианах; 360 градусов в радианах.

Это, конечно, выводится из основного уравнения скорости$v=\frac{s}{t}$, который при приспособлении к круговому движению становится$\omega=\frac{\phi}{T}$, где$\phi$равно пройденному расстоянию, которое в случае полного круга составляет 360 градусов, или$2\pi$рад.

Я думаю, вы заметили, что колебательное движение является обычным явлением среди физических систем. Используемые обозначения часто настраиваются в соответствии с конкретным случаем. Физики любят работать в радианах, поскольку они имеют определенную независимость от размера системы, и отсюда мы получаем коэффициент$2\pi$.