Значение угловой скорости во вращающейся системе

Это просто.$\vec{\omega}_{[e]}$не являются компонентами угловой скорости, наблюдаемыми в системе отсчета, прикрепленной к самому твердому телу. Как вы указываете, эта угловая скорость равна нулю.

Это результат математических манипуляций. У вас есть набор отношений между базисными векторами инерциальной системы отсчета и вращающейся системы отсчета, и вы используете это, чтобы написать$\vec{\omega}$в терминах базисных векторов вращающейся системы координат для упрощения расчета. Физический смысл$\vec{\omega}$по-прежнему угловая скорость, наблюдаемая в инерциальной системе отсчета.

---

Почему здесь недостаточно математического формализма замены базиса? Потому что и изменение базовой матрицы, и определение (угловой) скорости включают внешний параметр — время. В общей теории относительности время и пространство сливаются воедино, и каждый вектор в четырехмерном пространстве-времени имеет как временную, так и пространственную части. В этом случае все векторы прекрасно преобразуются, как подсказывает математика.

Еще в классической механике из-за особого статуса времени не существует общей формулы перевода физических величин из одной системы отсчета в другую при относительном вращательном движении. Однако угловая скорость является частным случаем. Преобразование простое, как

$$\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\omega}'+\boldsymbol{\Omega},$$

где$\boldsymbol{\Omega}$— относительная угловая скорость заштрихованной системы отсчета по отношению к незаштрихованной.

Что мы делаем, когда у нас есть твердое тело в движении, так это привязываем к телу некоторые координаты, поэтому начало координат$O'$и три базовых вектора. Теперь положение точки относительно начала фиксированной системы отсчета.$O$является

$$\vec R_i= \vec{OO'}+ \vec r_i$$

где$\vec r_i$- вектор положения относительно начала системы отсчета тела.$O'$.

С помощью теоремы Эйлера о вращении и простых геометрических соображений можно показать , что скорость точки относительно фиксированной системы отсчета равна

$$\vec V_i = \vec V_{O'} + \Omega \vec r_i$$ где $\Omega$представляет собой матрицу 3x3, называемую тензором вращения. Можно показать, что эта матрица антисимметрична, поэтому всегда можно написать $$\Omega\vec b=\vec\omega\times \vec b$$ где $\omega$представляет собой вектор, связанный с $\Omega$и его компоненты являются независимыми компонентами $\Omega$. Сила этого формализма в том, что $\omega$уникальна для всех точек (!) и зависит только от времени. Значит, это мгновенная угловая скорость вращения .

Итак, в системе отсчета, прикрепленной к твердому телу, мы не видим вращения какой-либо точки, и это интуитивно понятно из-за ограничения жесткости. В самом деле, если бы мы хотели написать$V_i$в ссылке, прикрепленной к телу, мы бы просто$\vec r_i=\vec 0 \Rightarrow \vec V_i = \vec 0$. Следовательно, в этой системе отсчета все точки покоятся.

Когда вы говорите «нам нужна быстрая формула для кинетической энергии вращения», я думаю, вы имеете в виду

$$E_R = \frac {1}{2} I\omega^2$$ . Теперь для любой механической системы мы знаем из теоремы Кенига , что полная кинетическая энергия системы равна энергии перемещения центра масс + энергия относительно центра масс. В случае твердого тела, когда на объеме тела запрещено перемещение точки относительно другой, единственно возможной «внутренней» кинетической энергией является энергия вращения: $E_R$где $I$есть импульс инерции. Если мы поместим себя в систему отсчета, прикрепленную к твердому телу, и возьмем за начало координат центр масс, мы получим только термин «внутренняя» кинетическая энергия без переноса энергии центра масс. Возобновление: $$Koenig: \ \ \ K_{TOT}=Mv_C^2/2+\int_V dm v_i^2/2$$ $$Rigid body:\ \ \ \int_V dm V_i^2/2 = \int dm |\vec v_C + \vec\omega\times\vec r^{(C)} |^2/2$$

$$RF\ with\ origin\ in\ C:\ \ \ \int dm |\vec v_C + \vec\omega\times\vec r^{(C)} |^2/2= \int dm |\vec r^{(C)}|^2 \omega^2/2 = I_{C}\omega^2/2$$ где $r^{(C)}$это положение элемента массы $dm$относительно центра масс. Наконец, наконец: $$K_{TOT}=M v_C^2+I_C\omega^2/2$$ где $\omega$хорошо определен для данного $t$и одинакова для всех точек. Мораль: вам не нужна вращающаяся система отсчета, чтобы иметь «простую» форму для кинетической энергии твердого тела. Надеюсь, это поможет.