У меня возникла концептуальная путаница в отношении метрических модулей многообразий Калаби-Яу, когда я читал о компактификации Калаби-Яу.
Насколько я понимаю, метрические модули параметризуются инфинитезимальной деформацией метрики, сохраняющей условие Калаби-Яу (риччи-плоскость или, что то же самое, допускающий один ковариантно постоянный спинор). Таким образом, мы получили бы уравнение Лихнеровича для метрики деформации:
Более того, деформация является деформацией сложной структуры: компенсирующее преобразование координат не является голоморфным. Или, точнее, метрика больше не может быть записана в эрмитовой форме. Но поскольку деформация сохраняет условие Калаби-Яу, она все равно должна быть Калаби-Яу, значит, она все еще кэлерова.
Таким образом, деформированная метрика все еще Калаби-Яу? Если да, то как понимать появление неэрмитовой составляющей в метрике?
Самый общий которые сохраняют Риччи-плоскость на исходных фонах Калаби-Яу, являются суммой нескольких компонентов: чистых бесконечно малых диффеоморфизмов (я не буду обсуждать их, потому что они физически бессодержательны и тривиальны); изменения модулей Кэлера; и изменения сложной структуры.
Трехкратная Калаби-Яу имеет реальные параметры, описывающие кэлеровы модули (они усложняются, когда -полевая двойная форма добавлена в теорию струн типа II) и комплексные параметры, описывающие комплексные структурные модули. Эти два целых числа меняются местами для многообразия, связанного зеркальной симметрией.
Модули Кэлера описывают различные способы выбора Риччи-плоской метрики на многообразии, совместимые с фиксированной заданной комплексной структурой. Различные решения могут быть получены локально из потенциала Кэлера который может иметь множество форм. Эти модули эффективно описывают собственные области 2-циклов.
Деформации сложной структуры меняют сложную структуру — и соответствующий спинор — но новое, деформированное многообразие по-прежнему имеет сложную структуру, только другую! Метрика после бесконечно малой вариации будет иметь неэрмитову компоненту по отношению к старой комплексной структуре, но по отношению к новой, деформированной сложной структуре она все еще будет совершенно эрмитовой! Калаби-Яу всегда Кэлер, (для 6 вещественных измерений) комплексные многообразия с чисто эрмитовой метрикой в некоторых подходящих комплексных координатах, а деформация по-прежнему удерживает многообразие в множестве Калаби-Яуса.
Самый простой пример для проверки интуиция 1-комплексно-мерная или 2-вещественно-мерная Калаби-Яуса, двуторная. Сложная структура меняет соотношение двух периодов и угол между ними, а именно комплексный структурный параметр. Модуль Кэлера — это общая площадь двух торов — общее масштабирование всей двумерной метрики. Вы можете легко видеть, что все эти преобразования сохраняют многообразие плоским и, следовательно, Риччи-плоским.
Кевин Йе