Вакуум и отталкивающая гравитация

Уравнения поля Эйнштейна на самом деле ничего не говорят о природе материи. Их структура такова, что они связывают некоторую меру кривизны пространства-времени G с тензором энергии-импульса T:$G_{ab}=8\pi T_{ab}$. Тензор энергии-импульса описывает любую присутствующую материю; это ноль в вакууме. Проще говоря, вы можете записать любые уравнения, которые вам нравятся, описывающие произвольное пространство-время, которое вы составили, а затем, вычислив G, вы сможете найти T, которое требуется, чтобы допустить существование этого пространства-времени. Однако этот T может иметь свойства, отличные от свойств любого известного типа материи. T имеет очень специфическую структуру для определенных типов материи, таких как электромагнитное излучение или «пыль» (имеется в виду идеальная жидкость, состоящая из частиц, имеющих скорость$\ll c$относительно друг друга). Существуют различные гипотезы, называемые энергетическими условиями, о том, какие типы тензоров энергии-импульса физически возможны для реальных типов материи. У них есть такие названия, как слабое энергетическое состояние (WEC), сильное энергетическое состояние (SEC) и т. д. WEC сводится к утверждению, что плотность энергии никогда не бывает отрицательной ни в какой системе отсчета. Если бы он был нарушен, то можно было бы получить отталкивающую гравитацию. Известно, что в основном все энергетические условия нарушаются при определенных обстоятельствах. Вот хорошее обсуждение этого: http://arxiv.org/abs/gr-qc/0205066

Космологическую постоянную иногда берут как отдельный член в уравнениях поля Эйнштейна, но ее можно рассматривать и как тип материи с определенным вкладом в тензор энергии-импульса. Пространство-время, в котором есть только космологическая постоянная и больше ничего, нарушает различные энергетические условия.

Нам нужен четкий операциональный смысл того, что значит для гравитации быть «отталкивающим». Если мы думаем об этом слишком наивно... скажем, удаленный наблюдатель в пространстве-времени Шварцшильда, наблюдающий за орбитой частицы, для которого время Шварцшильда$t$имеет четкий оперативный смысл и радиальную координату Шварцшильда$r$достаточно хорошо. Может ли орбита иметь положительные$d^2r/dt^2$, т. е. иметь внешнее, а не внутреннее ускорение? Да, безусловно: на самом деле так и должно быть, потому что в этих координатах радиально падающая частица никогда не достигает горизонта.

Но это просто извращенно. Давайте поищем локальное операционное определение. Например, возьмем небольшой (рядом друг с другом) набор сопутствующих пробных частиц, имеющих четыре скорости.$u$, и посмотреть, что они делают. Их геодезическое отклонение задается тензором кривизны Римана, и если у нас есть небольшой шар объема$V$, затем

$$\lim_{V\to 0}\frac{\ddot{V}}{V}\vert_{t=0} = -R^\alpha{}_{\mu\alpha\nu} u^\mu u^\nu,$$ и этот сжатый тензор Римана есть кривизна Риччи $R_{\mu\nu}$. Таким образом, притяжение или отталкивание шара пробных частиц задается кривизной Риччи.

Взгляните на сильное энергетическое состояние: для каждого времениподобного вектора, указывающего на будущее.$u$,

$$\left(T_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Tg_{\mu\nu}\right)u^\mu u^\nu \geq 0.$$ Не сразу очевидно, что это на самом деле означает, но сокращение уравнения поля Эйнштейна $R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}$получает тебя $R - \frac{1}{2}Rg^\mu{}_\mu = 8\pi T$, т.е. $R = -8\pi T$: скаляр Риччи - это просто отрицательный след тензора энергии-импульса с точностью до константы. Обратная подстановка в уравнение поля и вуаля: $$R_{\mu\nu} = 8\pi\left(T_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Tg_{\mu\nu}\right),$$ поэтому SEC просто говорит, что $R_{\mu\nu}u^\mu u^\nu \geq 0$.

Вывод: для этого разумного локального представления о том, что значит для гравитации быть притягивающим/отталкивающим, гравитация не является отталкивающей тогда и только тогда, когда выполняется сильное энергетическое условие .

В случае идеальной жидкости$T^{\mu\nu} = (\rho+p)u^\mu u^\nu + pg^{\mu\nu}$, так что$T = T^\mu{}_\mu = -\rho + 3p$. Из кадра, сопутствующего жидкости, замена дает$\rho + 3p\geq 0$. С другой стороны, приближаясь к светоподобному$u$в одном из пространственных направлений дает$\rho + p\geq 0$, этот шаг оправдан непрерывностью.

Поскольку уравнение поля Эйнштейна с космологической постоянной просто добавляет$\Lambda g_{\mu\nu}$напротив тензора энергии-импульса, он эквивалентен идеальной жидкости с плотностью$\rho = \Lambda/8\pi$и давление$p = -\Lambda/8\pi$. Таким образом, нам нужна положительная плотность энергии вакуума, чтобы разрушить СЭП.

В контексте общей теории относительности маленькие пробные частицы движутся по геодезическим . Геодезическая — это обобщение прямой линии (например, на криволинейной поверхности, такой как футбольный мяч). Геодезические определяются метрикой$g_{\mu \nu}$.

Уравнение Эйнштейна$G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu}$.

$G_{\mu \nu}$состоит из метрики$g_{\mu \nu}$и его производные.

$T_{\mu \nu}$является материей и имеет определенные формы в зависимости от того, какая материя присутствует, например, пыль, излучение или лямбда. Вы можете думать о$T_{\mu \nu}$как вход в проблему, как тяжелая звезда, сидящая в центре пустого пространства.

Благодаря бетонной форме$G_{\mu \nu}$как написал Эйнштейн, когда вы решаете уравнение для пыли или радиации,$g_{\mu \nu}$будет таким, что пробные частицы будут казаться притянутыми к материи, описываемой$T_{\mu \nu}$. Для тяжелой звезды, находящейся в центре пустого пространства, геодезические пробных частиц, пришедших издалека, будут наклоняться в сторону тяжелой звезды. Это решение на самом деле известно как первое явное решение проблемы в рамках общей теории относительности и называется решением Шварцшильда или метрикой Шварцшильда в честь Карла Шварцшильда.