В чем разница между условным и материальным импликациями?

Материальную импликацию можно рассматривать как своего рода очень простой частный случай условного предложения. Это функция истинности, то есть ее истинностное значение зависит только от истинностных значений ее антецедента и консеквента, а не от какой-либо другой семантической связи между ними. Оно служит только для выражения достаточного условия между истиной его антецедента и истинностью его следствия. Он не справляется с общими чертами обычных английских условных предложений, такими как: они могут быть неопределенными, они могут выполняться по умолчанию в нормальных условиях, но иметь исключения, они могут быть неявно квантифицированы, они могут подразумевать более сильные отношения между предшествующим и последующим как причинная или доказательная связь. Также мы можем условить все виды речевых актов, например, вопросы, команды, предложения, угрозы, пари, обещания и т. д.,

В ваших примерах я бы сказал, что математический пример работает как материальная импликация. Действительно, математика — это область, в которой материальные выводы работают хорошо, потому что математика обычно не связана с неопределенными утверждениями или невысказанными исключениями. «Если Джон в школе, то его сумки нет в доме» может быть существенным подтекстом в крайнем случае, но он не отражает тот факт, что у этого могут быть исключения: может быть, Джон иногда забывает или принимает участие в школьных занятиях. событие и не нуждается в его сумке. Кроме того, он упускает из виду тот факт, что между вещами существует связь: нам дают понять, что сумки Джона нет в доме, потому что Джон берет ее с собой в школу. Я бы сказал, что ваш последний пример является условным обещанием, а не следствием.

В чем разница между условным и материальным импликациями?

Я не уверен, что есть разница. Если вы принимаете следующие принципы логики, кажется, что нет никакой разницы :

• Прямое доказательство
• Доказательство от противного
• Отстраненность (modus ponens)
• Удаление двойного отрицания

В моем недавнем блоге о материальном импликации я вывел, среди прочего, таблицу истинности для материального импликации, используя только эти принципы. Ни одно доказательство не длиннее 8 строк.

Разница проста: материальная импликация не имеет ничего общего с условной.

Следует также сказать, что мы всегда можем использовать условное выражение для выражения логической импликации, включая логические импликации, которые математики доказывают, что существуют от аксиом к теоремам, которые следуют из этих аксиом, и что поэтому материальная импликация тоже не имеет ничего общего с логическими последствиями в математическом контексте.

Выражение «Если x = 2, то x² = 4» является условным. Однако это также и прямая интерпретация логической импликации x = 2 → x² = 4. Эта импликация формально не верна, так как зависит от целого набора определений, формально не выраженных в этом выражении, но все мы понимаем, что таковы, и мы можем думать о них в широком смысле как об аксиомах арифметики.

В математических статьях также очевидно, что математики никогда не используют материальную импликацию, когда доказывают теорему. Почти все математические доказательства опираются на логическое чутье математика, а не на какое-либо формальное исчисление, основанное на материальной импликации.

Следует отметить, что математики способны понимать доказательства друг друга, просто читая их, как они это всегда делали со времен Евклида, по существу так же, как мы все можем понимать силлогизмы Аристотеля, то есть интуитивно. Таким образом, ни один математик не стал бы проверять доказательство, используя определение материальной импликации.

Таким образом, тот факт, что математика обычно хорошо работает, в том числе в приложениях в инженерии и науке, не является доказательством того, что материальный смысл имеет какую-либо ценность.