Что такое «плотность импульса» и почему она важна для КТП?

Комментарии к вопросу (v2):

1. Поле$\phi^{\alpha}:[t_i,t_f]\times \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$является теоретико-полевой версией ( обобщенной ) переменной положения$q^i:[t_i,t_f]\to \mathbb{R}$в точечной механике. Обратите внимание, что пространство физического положения$\mathbb{R}^3$обычно играет очень разные роли в теории поля и в точечной механике.$^1$

2. Плотность импульса$\pi_{\alpha}$является естественным теоретико-полевым обобщением импульсной переменной$p_i$от точечной механики. (Лагранжевы) плотности импульса равны

   $$\tag{1}\pi_{\alpha}~:=~\frac{\partial{\cal L}}{\partial\dot{\phi}^{\alpha}}$$ по аналогии с $$\tag{2}p_i~:=~\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}$$ в точечной механике.

3. Обратите внимание, что существует другое понятие импульса.$P^i=T^{0i}$исходя из тензора энергии-импульса напряжения $T^{\mu\nu}$, ср. например, этот пост Phys.SE.

4. Следует выполнить преобразование Лежандра

   $$\tag{3}\dot{\phi}^{\alpha} \quad\longleftrightarrow\quad \pi_{\alpha}$$ чтобы получить формулировку Гамильтона. Отметим, в частности, что (гамильтоновы) плотности импульса$\pi_{\alpha}$являются независимыми переменными.

5. Нужна формулировка Гамильтона$^2$чтобы наложить канонические коммутационные соотношения (CCR), необходимые для квантования .

--

$^1$Понятие пространства-времени, положения и поля можно определить в более общем виде с помощью дифференциальной геометрии и понятия многообразия .

$^2$Здесь мы обсуждаем только традиционный подход. Формулировку явно ковариантного гамильтониана см. также, например, в этом и этом сообщениях Phys.SE.