Верно ли 1+1=2 по определению?

Ваш скептик должен понимать, что означают символы 1+1, иначе он не имеет права утверждать, что 1+1 равно двум. Например, есть системы счисления, в которых нет единицы, или некоторые операции не определены, или 1+1=0. Но можно также представить, что символ «1» означает каплю воды, а «+» означает физическое сложение, так что 1+1 означает добавление одной капли воды к другой капле воды, так что мы получаем другую (большую) капля воды, поэтому в данном случае 1+1=1.

Предполагая, что это имеет традиционный смысл, тогда, если вы начнете с аксиом Пеано, которые грубо говоря, что есть ноль и что вы всегда можете добавить единицу к числу, то вы можете доказать, что 1 + 1 = 2.

Но это не вся правда. Если бы эти аксиомы показали нам, что 1+1 на самом деле не равно 2, то Пеано просто отбросил бы свои аксиомы.

Он пытался найти набор аксиом, который точно отражает наше интуитивное представление о том, как действуют целые числа; и, очевидно, 1 + 1 = 2 - это действие целых чисел, которое верно согласно интуиции / наблюдению, которое он должен включить в свои аксиомы, чтобы осмысленно моделировать целые числа.

Получив формализацию Пеано и математическую логику, введенную Булем и Фреге, Бертран Рассел попытался вывести аксиомы Пеано из логики. Вот почему ему потребовалось несколько сотен страниц, чтобы сказать, что 1+1=2.

Возможно, наиболее практичный набор аксиом в том смысле, что он отражает нашу интуицию, состоит в том, что это хорошо упорядоченное кольцо. Это означает, что это набор с двумя операциями, называемыми сложением и умножением, и они коммутативны, ассоциативны и имеют тождество; что умножение распределяет по сложению; что существует отношение порядка на множестве, такое что каждое непустое множество имеет минимальный элемент.

Эти три набора аксиом связаны простой зависимостью дедукции: Логика -> Аксиомы Пеано -> Аксиомы Кольца; но следует иметь в виду, что другое направление также имеет место как процесс исторической рефлексии, и обозначить его следующим образом: Логика <- Формальное (Пеано) <- Интуиция (Кольцо).

Мифическое племя амазонок, которое не может делать или понимать арифметику, также не поймет, что вы подразумеваете под доказательством; но это просто потому, что они не понимают, что арифметика в правильном контексте может быть важна; и это скрывает важный момент: долгое развитие арифметики и измерений в Древней Месопотамии заключалось в том, чтобы понять их использование и важность; именно это знакомство было завещано Греции и благодаря которому Евклид впервые набросал полную аксиоматическую систему. Вряд ли можно похвалить то, что он первым придумал аксиому, но он был первым, кто создал что-то вроде законченной системы. В Индии и примерно в его современнике Панини разработал полную формализацию санскритской грамматики.

Формализация как концепция в математике произошла только в начале 20 века после возрождения математической логики. Это отличается от аксиоматических систем тем, что отсутствует идея истины - единственное требование - непротиворечивость, тогда как аксиома должна быть самоочевидно истинной. То есть в формальной системе вы можете что-то «доказать», но поскольку «аксиомы» являются случайными, а не самоочевидными, можно утверждать, что на самом деле ничего не доказано. В этом случае доказательство свелось к синтаксису.

И в этом, собственно, и заключается разница между двумя самыми ранними попытками формализации. В конце концов, существует только одна система целых чисел; тогда как есть много других языков, кроме санскрита.

Разумным доказательством в ZFC было бы доказать, что 1 + 1 = 2 для соответствующих порядковых чисел. Первые несколько порядковых номеров в ZFC: 0:={}, 1:={0} и 2:={0, 1} с порядком 0 < 1 на {0, 1}. Сумма двух порядковых чисел представляет собой дизъюнктное объединение двух упорядоченных множеств с конкатенацией упорядоченных порядков в качестве упорядоченного для суммы. Например, у нас было бы {a, b} + {c, d} = {(a, 0), (b, 0), (c, 1), (d, 1)} с порядком (a, 0 ) < (b, 0) < (c, 1) < (d, 1), если WLOG a < b на {a, b} и c < d на {c, d}. Обратите внимание, что здесь используется определение Куратовского (x,y)={{x},{x,y}}.

Итак, 1 + 1 = {(0,0), (0,1)} с порядком (0,0) < (0,1). Как это может быть равно 2 = {0, 1} с порядком 0 < 1? Итак, два порядковых числа равны, если между ними существует порядковый изоморфизм . Легко проверить, что {((0,0),0), ((0,1),1)} — требуемый изоморфизм порядка. На этом мое неофициальное доказательство того, что 1+1=2 для порядковых чисел в ZFC, завершается.

Насколько сложно преобразовать такое неформальное доказательство в формальное? Для меня первой трудностью уже было бы то, что я не уверен, в какой форме мне указывать заказ. Я предполагаю, что правильный способ - использовать набор пар, подобно тому, как я указал изоморфизм порядка выше. Формальное доказательство 1 + 1 = 2 из метаматематики использует количественные числа вместо порядковых (как указал DBK в комментарии, это также то, что сделал Principia Mathematica ), но это, кажется, еще больше усложняет доказательство. Обратите внимание, однако, что формализация и доказательство простой формулы вроде (a,b)=(c,d) -> (a=c ∧ b=d) в ZFC требует значительных усилий. Так что, возможно, приведенное выше неофициальное доказательство не так уж и плохо.

Более простая интерпретация 1+1=2 будет использовать арифметику Пеано . Тогда 1+1=2 превращается в утверждение S(0)+S(0) = S(S(0)). Тогда мы можем использовать аксиому ∀x1,x2∈N. x1 + S(x2) = S(x1 + x2), чтобы получить S(0)+S(0) = S(S(0)+0), а затем аксиому ∀x1∈N. x1 + 0 = x1, чтобы получить S(S(0)+0)=S(S(0)). Мы видим здесь, что 1+1=2 верно в этой интерпретации как следствие двух аксиом и двух определений 1=S(0) и 2=S(S(0)). Поскольку задействованы две аксиомы (не говоря уже о неявно используемой системе логического вывода первого порядка), совершенно ясно, что утверждение «1 + 1 = 2 истинно по определению» как минимум сомнительно.

Но если очень хочется, можно исключить 0 из натуральных чисел и использовать 1+1 в качестве определения 2. Это было сделано для доказательства 2+2=4, которое объяснено в параграфе 2+2=4 Trivia . на начальной странице подпроекта Metamath Proof Explorer. Тогда 1+1=2 действительно верно по определению, ну и что?

Это правда по определению, на самом деле я бы написал так, 2=1+1потому что вы определяете число 2.

Между прочим, доказательства или демонстрации — это всего лишь способы упростить выражения для получения определений, поэтому мы можем быть уверены, что предпосылки были правильными.

Как насчет объяснения по законам Ньютона (масса не может находиться в том же месте и в то же время другой массы -> масса + масса = 2 x масса)

Когда я рос, я узнал, что в некоторых ситуациях нужно использовать слово «один». Произнесите количество точек между скобками (.). Через некоторое время я столкнулся с такими ситуациями, как (. . .), и сказал «один», «один», потому что это говорило бы кому-то о том, что я видел. Это соответствовало (...), (....) и т. д., просто повторяя слово в соответствии с ситуацией. Однако это стало утомительным и отнимало много времени, и в разных ситуациях заменялись новые высказывания. Выражение для ситуации (..) было «два» и так далее.

Хорошо, я солгал. Я рос не совсем так, но держу пари, что это приблизительное представление о том, как получилось 1+1=2.

Это фундаментальный аспект человеческого познания. Мы видим/переживаем вещи и разделяем их на категории. Тот факт, что мы можем расчленить наш сенсорный ввод на любые части, является источником чисел. Нам приходилось различать аспекты опыта (сенсорный ввод), чтобы избегать тигров и находить съедобные фрукты. Мы придумали высказывания, соответствующие этой дискриминации. Как только у нас появился способ идентифицировать отдельные экземпляры, мы могли идентифицировать несколько экземпляров. Затем мы сократили произнесение «тьфу» 16 раз для данного стада буйволов до индийского слова, обозначающего 16 (в зависимости от племени). Вот как мы получили 1 + 1 = 2. Остальная математика была развита из этого, изобретая новые обозначения (умножение вместо повторного сложения и т. д.) и требуя, чтобы мы не получили противоречия из-за всех изобретений, которые мы были делает. Это то, как относительно ограниченная система может справиться со слишком большим количеством входных данных. Наши чувства предоставляют гораздо больше фактических данных, чем мы можем эффективно обработать, поэтому мы используем сжатие с потерями для классификации похожих массивов данных. Если входной поток достаточно хорошо аппроксимирует другие, мы говорим достаточно близко и говорим, что у нас есть «один» из них. Затем мы попадаем в описанный выше сценарий, приводящий к двум и т. д.

В двоичной системе у нас есть только 2 цифры: 0 и 1, где 1+1=10. В десятичной системе, которую мы в основном используем, у нас есть 10 цифр (0-9), а 1+1 всегда равно 2.

Мы все договорились о наборе правил. На основании этих правил 1+1=2 для десятичной системы. Скептически настроенный человек может иметь в виду изменить эти правила. В этом нет ничего плохого. Этот человек просто создает новую арифметическую систему, и поверьте мне, это не такая простая задача.

В заключение, исходя из известной десятичной системы и ее правил, 1 + 1 всегда равно 2. Логика результата — это набор правил, которым следует конкретная арифметическая система.

Остерегайтесь, что есть разные виды правды:

• Объективные истины что-то утверждают об объективном мире: «Париж — французский город» — это объективная истина.
• Математические истины утверждают следствия: «если свиньи могут летать, то я Папа Римский» — это математическая истина.
• Постулированные истины не обязательно являются математическими истинами или объективными истинами; они просто считаются истинными. Все постулаты Евклида являются постулируемыми истинами.

1 + 1 = 2 — это арифметическое правило, точно так же, как правила игры, которые представляют собой утверждения, которые считаются истинными до доказательства. Подобно постулатам Евклида, это постулируемая истина. Раньше в математике было очень много постулатов, пока кто-то не предположил, что математику можно свести к очень небольшому количеству постулатов.

Создание такого правила — индуктивный процесс, начинающийся со счета, измерения и многих других повседневных действий: люди сначала поняли, как считать, и узнали, что означают одна вещь и две вещи. Потом они обнаружили, что одна лошадь и другая лошадь — это две лошади; одна миля плюс еще одна миля составляют две мили и т. д. Затем люди обобщили, что один и один равняются двум с ореолом таинственности. Представление о числах, отделенных от вещей, — это большой скачок вперед; весьма вероятно, что этот прорыв совершило очень небольшое число людей, возможно, только один.

Долгое время это правило использовалось для решения задач без точных определений 1, 2, + и =. Поскольку у людей нет проблем с пониманием одной или двух вещей , в течение долгого времени никто никогда не задавался вопросом, что означает 1 или 2 — любой, кто задавал бы такой вопрос, считался бы смешным.

Этот тип нечеткого мышления не свойственен арифметике. Возьмем, к примеру, «желтый и синий дают зеленый», все понимают это утверждение, но немногие знают точное определение желтого , синего и зеленого . На самом деле никто никогда не видел желтого, синего или зеленого независимо от вещей ; никто никогда не смешивал желтый с синим; на самом деле они смешивали желтые краски с синими красками. Люди настолько знакомы с голубыми или желтыми вещами , что бессознательно думают, что знают, что такое голубое или желтое.глупые вопросы, подобные этим, никто не поднимает до тех пор, пока некоторые великие умы не решат, что точные определения необходимы для ясного мышления.

Сначала считалось, что в 1 + 1 = 2 есть какая-то объективная правда, пока однажды люди не поняли, что это не всегда так: если император посылает двух сборщиков налогов и говорит каждому вернуть по таэлю серебра, он вправе ожидать 2 таэля серебра в конце дня, но если он скажет каждому из них принести сорт экзотического растения, нет никакой гарантии, что у него будет 2 сорта растений после того, как каждый из них принесет по одному сорту. Пришлось признать, что 1 + 1 = 2 было просто правилом, которое иногда применимо к реальному миру, а иногда нет.

Математика состоит из многих правил, таких как 1 + 1 = 2. Некоторые люди обнаружили, что одни правила могут быть получены из других правил; некоторые другие люди предположили, что вся математика может быть выведена из очень небольшого числа правил, которые были названы основаниями. Они размышляли, что это за основания (правила), и пытались вывести из них обычную математику — этот процесс имел вид доказательства 1 + 1 = 2, но на самом деле обычная математика имеет большую степень самоочевидности, чем их фонды. Если 1 + 1 = 2 может быть выведено из умозрительного основания, это только дает основания верить в обоснованность основания, а не верить в то, что 1 + 1 = 2 уже самоочевидно.

Точно так же, если чья-то теория предсказывала затмение, и затмение наблюдалось так, как он предсказал, его теория не делала затмение более верным. Наоборот, именно затмение дало основания поверить в его теорию.

Другая аналогия — создание устава организации. Сначала для конкретного сценария были добавлены специальные правила. Позже люди обнаружили, что некоторые правила уже вытекали из других правил, и вся книга правил была эквивалентна лишь небольшому количеству примитивных правил.

1 + 1 = 2 по своей сути является верой. Это основано на нашей склонности видеть отдельные вещи как одно целое. Без этой тенденции наше восприятие распадается. Такие убеждения позволяют нам общаться/использовать язык, и можно утверждать, что это ведет к сознанию. Нет истин в последней инстанции. Мы всегда должны начинать с некоторых основных аксиом, которые опять-таки по своей сути являются согласованным верованием. Кто-то может не согласиться, если не хочет принимать эти исходные аксиомы. Обычно это приводит к круговому обсуждению, когда мы понимаем, что речь идет о том, существует ли внутренняя согласованность в нашей собственной системе. Системы являются круговыми и самоопределяющимися, это можно увидеть, пытаясь определить вещи, и если сделать это достаточно строго, мы можем понять, что определяем их по отношению друг к другу.

Короче говоря, 1+1=2 — это то, что есть и как оно определяется. Он внутренне непротиворечив. С верованиями происходит прыжок веры через бесконечную регрессию.