Влияние квантовой декогеренции на операторы плотности

Question

Влияние квантовой декогеренции на операторы плотности

Физика
декогеренция
оператор плотности
квантовая механика

Фриман

Предположим, у нас есть кубит в состоянии $| \Psi \rangle = \alpha | 0 \rangle + \beta | 1 \rangle$

Предположим, мы подвергаем это декогеренции, которую мы будем выражать как состояние $| R \rangle$ такой, что

| 0 ⟩ | р ⟩ \to | 0 ⟩ | р_{0} ⟩

$| 0 \rangle| R \rangle \rightarrow | 0 \rangle| R_0 \rangle$

| 1 ⟩ | р ⟩ \to | 1 ⟩ | р_{1} ⟩

$| 1 \rangle| R \rangle \rightarrow | 1 \rangle| R_1 \rangle$

Где $| R \rangle, | R_0 \rangle$ и $| R_1 \rangle$ все нормированные состояния.

Я пытаюсь понять, как меняется оператор плотности кубита, когда мы применяем $R$ . Если мы рассмотрим оператор плотности для $|\Psi \rangle$

р "=" | Ψ ⟩ ⟨ Ψ | "=" (\begin{matrix} α^{2} & α β \\ α β & β^{2} \end{matrix})

$\rho=|\Psi \rangle \langle\Psi |= \Big( \begin{matrix} \alpha^2 & \alpha \beta \\ \alpha \beta & \beta^2 \end{matrix} \Big)$

Предполагая, что альфа и бета реальны.

Далее применяем $|R\rangle$ вне кубита,

р "=" | Ψ ⟩ ⟨ Ψ | \to | Ψ ⟩ | р ⟩ ⟨ Ψ | ⟨ р |

"=" α^{2} | 0 ⟩ | р_{0} ⟩ ⟨ 0 | ⟨ р_{0} | + α β (| 0 ⟩ | р_{0} ⟩ ⟨ 1 | ⟨ р_{1} | + | 1 ⟩ | р_{1} ⟩ ⟨ 0 | ⟨ р_{0} |) + β^{2} | 1 ⟩ | р_{1} ⟩ ⟨ 1 | ⟨ р_{1} |

Далее мы возьмем приведенный оператор плотности $|\Psi \rangle$ найти оператор плотности? Это приведет к $2 \times 2$ оператор плотности, который я надеюсь выразить в терминах $\rho=|\Psi \rangle \langle\Psi |$

Это правильный способ думать об отношении между операторами плотности и операторами пониженной плотности для запутанных состояний? Как насчет незапутанных состояний?

Также кто-нибудь сможет кратко объяснить, что такое декогеренция и почему мы можем описать ее как такой оператор. $|R \rangle$ ? Любая помощь будет принята с благодарностью.

Эмилио Писанти

Предположительно, вы имеете в виду

| 1 ⟩ | R ⟩ \to | 1 ⟩ | R_{1} ⟩

$|1\rangle|R\rangle\rightarrow|1\rangle|R_1\rangle$ в начале. В противном случае ваша математика будет непоследовательной, и оператор уменьшенной плотности будет просто

| 0 ⟩ ⟨ 0 |

$|0\rangle\langle0|$ .

Ответы (1)

Влияние квантовой декогеренции на операторы плотности

Предположительно, вы имеете в виду $|1\rangle|R\rangle\rightarrow|1\rangle|R_1\rangle$ в начале. В противном случае ваша математика будет непоследовательной, и оператор уменьшенной плотности будет просто $|0\rangle\langle0|$ .

Любош Мотл · Answer 1

Во-первых, позвольте мне восстановить комплексное сопряжение, которое было опущено без уважительной причины:

р_{п ты р е} "=" | Ψ ⟩ ⟨ Ψ | "=" (\begin{matrix} | α |^{2} & α^{*} β \\ α β^{*} & | β |^{2} \end{matrix})

$\rho_{\rm pure}=|\Psi \rangle \langle\Psi |= \Big( \begin{matrix} |\alpha|^2 & \alpha^* \beta \\ \alpha \beta^* & |\beta|^2 \end{matrix} \Big)$ Теперь воспользуемся более красивым (обратным) порядком тензорных множителей для векторов бюстгальтера. Вы имели в виду:

р "=" | Ψ ⟩ ⟨ Ψ | \to | Ψ ⟩ | р ⟩ ⟨ р | ⟨ Ψ |

"=" | α |^{2} | 0 ⟩ | р_{0} ⟩ ⟨ р_{0} | ⟨ 0 | + α β^{*} | 0 ⟩ | р_{0} ⟩ ⟨ р_{1} | ⟨ 1 | + + α^{*} β | 1 ⟩ | р_{1} ⟩ ⟨ р_{0} | ⟨ 0 | + | β |^{2} | 1 ⟩ | р_{1} ⟩ ⟨ р_{1} | ⟨ 1 |

ρ

$\rho$ над

R_{0} / R_{1}

$R_0/R_1$ степень свободы. У нас есть

\overset{р_{0}, р_{1}}{Тр} р "=" | α |^{2} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + | β |^{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 | "=" (\begin{matrix} | α |^{2} & 0 \\ 0 & | β |^{2} \end{matrix})

$\mathop{\rm Tr}^{R_0,R_1} \rho = |\alpha|^2 |0\rangle \langle 0| +|\beta|^2 |1\rangle \langle 1 | = \pmatrix{ |\alpha|^2&0\\ 0&|\beta|^2}$ Вот и все. Обратите внимание, что смешанные термины ничего не внесли в частичную трассировку, потому что

⟨ R_{0} | R_{1} ⟩ = 0

$\langle R_0|R_1\rangle=0$ и аналогично для его комплексного сопряжения. Основной результат состоит в том, что эта уменьшенная матрица плотности, частичный след, после декогеренции имеет исчезающие недиагональные элементы, в отличие от матрицы плотности для чистого состояния.

ρ_{p u r e}

$\rho_{\rm pure}$ с которого мы начали.

При более детальных расчетах декогеренции обычно учитывают, что $|R_0\rangle$ и $|R_1\rangle$ степени свободы окружающей среды, в которые мгновение спустя эволюционируют, не совсем ортогональны друг другу. Это означает, что недиагональные элементы уменьшаются, но не исчезают мгновенно. Однако внутренний продукт убывает быстрее, чем экспоненциально, по мере того как та же самая информация запечатлевается и копируется в дополнительные степени свободы среды. Экспоненциально нарастающей лавиной, $\exp(CT)$ кубитов модифицируются в соответствии с начальными битами декогеренции. Каждая из этих экологических степеней свободы или кубитов вносит свой вклад в порядок. $I\ll 1$ от внутреннего продукта к недиагональным записям, поэтому недиагональные записи идут как

р_{12} \sim я^{опыт (С Т)} "=" опыт (- Б опыт (С Т))

$\rho_{12}\sim I^{\exp(CT)}=\exp(-B\exp(CT))$ где

B = \ln (1 / I)

$B=\ln(1/I)$ .

Чтобы недиагональные элементы матрицы плотности исчезли или почти исчезли через некоторое время, необходима запутанность со степенями свободы окружающей среды. Если бы две подсистемы не были запутаны, другими словами, если бы полное чистое состояние было тензорным произведением $|a\rangle\otimes |R\rangle$ , трассировка над $R$ степени свободы дадут вам чистую матрицу плотности $|a\rangle\langle a|$ сзади: система $R$ не повлияет на систему $a$ из-за отсутствия запутанности (отсутствия корреляции).

Вы можете прочитать о декогеренции, например, на страницах 9-16 здесь:

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~motl/entan-interpret.pdf

Декогеренция должна просто привести к экспоненциальному уменьшению недиагональных элементов, предполагая, что каждый из кубитов взаимодействует с ограниченным числом степеней свободы в окружающей среде (что я считаю довольно разумным предположением). Почему сверхэкспоненциально?
Нет ты ошибаешься. Декогеренция приводит к тому, что недиагональные записи экспоненциально уменьшаются во времени, и я объяснил, почему. Предполагать, что число степеней свободы в окружающей среде ограничено, неразумно. Окружающая среда является своего рода бесконечной тепловой баней. В любом случае, когда недиагональные элементы начинают существенно сокращаться, например, до одной миллионной, это происходит задолго до того, как все степени свободы в среде «истощаются», поэтому конечность их числа, даже если оно конечно , не влияет на функциональный характер $\rho_{12}(T)$ .
Другими словами, во всех ситуациях можно считать допустимым приближением — и единственным допустимым приближением — предположить, что количество доступных степеней свободы окружающей среды бесконечно. Вы не найдете ни одной реальной ситуации, для которой ваше простое ванильное экспоненциальное уменьшение было бы более точным, чем экспоненциальное уменьшение, не так ли? Конечно, на практике разница несущественна: однажды $\rho_{12}\ll 10^{-20}$ или так, не имеет значения, продолжается ли он по экспоненциальному или более быстрому уменьшению. Это ноль для практических целей.
Неважно, сколько копий делает среда. Как только он делает одну копию, государство декогерируется. Так что эта экспоненциальная лавина копий информации совершенно не имеет отношения к скорости декогеренции. Что имеет отношение к скорости декогеренции, так это количество степеней свободы, с которыми непосредственно взаимодействует кубит ; взаимодействие со всеми остальными степенями свободы в среде опосредуется через эти относительно небольшое число степеней свободы. У вас есть ссылки на эту суперэкспоненциальную декогерентность, на которые я мог бы взглянуть?
Дорогой Питер, как раз наоборот, для скорости декогеренции совершенно не имеет значения, взаимодействует ли наблюдаемая степень свободы со степенью свободы окружающей среды прямо или косвенно. На практике также неверно, что декогерентизация завершается после первого взаимодействия — это всего лишь (никогда не реализованное) приближение, в котором степени свободы окружающей среды точно ортогональны друг другу. Общие статьи о декогеренции быстрее, чем экспоненциально, см., например, на arxiv.org/pdf/cond-mat/9804156.pdf выше уравнения 26.
Также попробуйте, например, prl.aps.org/abstract/PRL/v99/i26/e267202 и arxiv.org/abs/1207.0726 и, например , arxiv.org/abs/0706.2127 стр. 4, и так далее, и так далее. Ищите суперэкспоненциал здесь: Meetings.aps.org/Meeting/MAR08/Event/80068 или arxiv.org/abs/0710.3762 или usrexp-sandbox.nature.com/nature/journal/v461/n7268/full/…
Ваша первая статья не является дважды экспоненциальной, она $e^{-ct^2}$ , и авторы явно напрямую связывают электрон с бесконечным числом степеней свободы (разных частот).
Верно, есть разные способы объединения и организации вычислений и разные результаты, но в основном они суперэкспоненциальны, и важно, чтобы бесконечное количество степеней свободы было доступно в любой реальной ситуации. Моя двойная экспонента, очевидно, является пределом для систем, в которых взаимодействия между степенями свободы максимальны, «каждый со всеми», как при термализации черной дыры.
Позвольте мне завершить этот не слишком конструктивный обмен замечаниями, заметив, что Зурек под 4.16 arxiv.org/pdf/quantph/0105127.pdf говорит почти то же самое, что и я. Экспонента в шкале декогеренции похожа на количество степеней свободы, которые эффективно (не обязательно «напрямую»!) взаимодействуют с исходной информацией.
Спасибо за это, это чрезвычайно полезно, я рад видеть, что я был на правильном пути (ну!), случай, с которым я имею дело. $R_0$ и $R_1$ не ортогональны, но, как вы говорите, это просто расширение того, что вы сделали здесь. Большое спасибо за ваше время.
Точно, @Freeman. Чтобы представить пример, показывающий, почему они не совсем ортогональны в реальном мире, представьте живого/мёртвого кота Шрёдингера, взаимодействующего с достаточно коротковолновым излучением. Мертвая кошка и живая кошка выглядят одинаково — их форма — и они пропускают похожее микроволновое излучение дециметровой длины волны, но не совсем то же самое. Состояние микроволновых фотонов, созданных живым котом, имеет ненулевой внутренний продукт с состоянием фотонов, испускаемых мертвым котом, но внутренний продукт также меньше 1 по абсолютной величине.
@LubošMotl: Спасибо за пример из реальной жизни, который всегда помогает представить физические принципы, лежащие в основе этих концепций. Спасибо за ваш ответ!

Влияние квантовой декогеренции на операторы плотности

Фриман

Эмилио Писанти

Ответы (1)

Любош Мотл

Питер Шор

Любош Мотл

Любош Мотл

Питер Шор

Любош Мотл

Любош Мотл

Питер Шор

Любош Мотл

Любош Мотл

Фриман

Любош Мотл

Фриман

Какова важность диагональной матрицы плотности после измерения/декогеренции?

Кот Шредингера и сложность состояния макроскопической суперпозиции

Когерентности в матрице плотности

Каковы самые сильные возражения против декогеренции как объяснения «коллапса»?

Максимально смешанное состояние находится в центре всех квантовых состояний.

Субъективность декогеренции

Запутанных состояний больше или незапутанных?

Какая интуиция стоит за матрицей плотности?

Формула Кубо для общих наблюдаемых

Декогеренция свободных подпространств и то, как они остаются такими, используя эффект Зенона