Вопрос о трактовке Сакураи гармонического осциллятора:

В разделе 2.3 второго издания Modern Quantum Mechanics (в котором обсуждается гармонический осциллятор) Сакураи выводит соотношение

Н а | н ⟩ "=" ( н − 1 ) а | н ⟩ ,
и заявляет, что

это означает, что а | н ⟩ и | н − 1 ⟩ одинаковы с точностью до мультипликативной константы.

На мой взгляд, это подразумевается только в том случае, если λ -собственное пространство числового оператора Н "=" а † а соответствующий λ "=" н − 1 является одномерным. Если оно многомерно, то нельзя сказать, что а | н ⟩ и | н − 1 ⟩ пропорциональны. Итак (если только я не допустил фундаментальной ошибки), откуда мы знаем, что λ собственные пространства Н являются одномерными?

Ответы (1)

ОП написал (v1):

Итак (если только я не допустил фундаментальной ошибки), откуда мы знаем, что λ -собственные пространства Н являются одномерными?

Да, ОП прав. В общем, мы не можем знать. Существуют приводимые унитарные представления алгебры Гейзенберга [ а , а † ] "=" 1 , где собственные значения Н вырождаются.

Однако, если предположить, что кет-гильбертово пространство является нетривиальным неприводимым унитарным представлением алгебры Гейзенберга, то можно показать, что собственные значения алгебры Н должен быть невырожденным. См., например, этот ответ Phys.SE.

Вопрос о трактовке Сакураи гармонического осциллятора:
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v