Существует ли обобщенная теорема Вигнера-Экарта?

Да. Можно определить тензорные операторы довольно широко (преобразуя обычно с помощью конечномерных представлений), и у них действительно есть

$$\langle \lambda_1;\alpha_1\vert T_{\lambda_2,\alpha_2}\vert \lambda_3,\alpha_3\rangle = \langle \lambda_1 \Vert T_{\lambda_2}\Vert \lambda_3\rangle \times \hbox{(something)}$$ с $\langle \lambda_1 \Vert T_{\lambda_2}\Vert \lambda_3\rangle$в зависимости от этикеток представления $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$только но не на "внутренних этикетках" $\alpha_k$. «Что-то» обычно пропорционально CG и, в случае компактной группы, также содержит некоторый фактор размерности. (Интересный случай некомпактного su(1,1) обсуждается в Ui, Haruo. «su (1, 1) квазиспиновый формализм системы многих бозонов в сферическом поле». Annals of Physics 49.1 (1968). ): 69-92.)

Генератор (как тензоры) имеют$\lambda_1=\lambda_3$по определению (поскольку они не могут изменять метки представления), но в целом вам не обязательно$\lambda_1=\lambda_3$. Например,$x+iy$является компонентом$L=1$тензор для$su(2)$и, конечно, может измениться$j$между начальным и конечным состояниями.

В$su(2)$все невозвраты являются самосопряженными, поэтому в более общем случае условие таково, что$\lambda_1^*\otimes\lambda_2\otimes\lambda_3$содержат тривиальное представление.

Существует много литературы по тензорным операторам для$SU(n)$поскольку этот вид техники использовался (и используется до сих пор) довольно часто в ядерной физике (особенно в контексте$SU(3)$модели и так называемые IBM-модели Аримы и Ячелло). В более общем плане Л. С. Биденхарн провел часть своей карьеры, изучая это, в частности, изучая так называемые тензоры сдвига, чтобы помочь в построении коэффициентов компьютерной графики. Репрезентативной бумагой является эта .

Существуют также тензорные операторы и формулировка теоремы Вигнера-Экарта для конечных групп.

Вы можете проверить это:

1. Агравала, Вишну К. «Теорема Вигнера – Эккарта для произвольной группы или алгебры Ли». Журнал математической физики 21.7 (1980): 1562-1565.
2. Дживанджи, Надир. Введение в тензоры и теорию групп для физиков, Биркхаузер, 2016 г., раздел 6.2.
3. Роу, DJ, и Дж. Репка. «Тензоры индуцированного сдвига в векторной теории когерентного состояния». Журнал математической физики 36.4 (1995): 2008-2029.

---

Отредактировано, чтобы добавить:

Для редуцированного матричного элемента$\langle \lambda_1\Vert T_{\lambda_2}\Vert \lambda_3\rangle$быть ненулевым, мало что можно сказать, кроме требования, что$\lambda_1$содержаться в разложении$\lambda_2\otimes\lambda_3$. Даже если это так, нет никакой гарантии, что$\langle \lambda_1\Vert T_{\lambda_2}\Vert \lambda_3\rangle\ne 0$поскольку это может зависеть от конкретного тензора, а также от того, как$\lambda_k$строятся.

В общем случае тензорное произведение

$$\lambda_2\otimes\lambda_3=\sum_k \gamma_k\lambda_k$$ с $\gamma_k$количество раз $\lambda_k$происходит при разложении $\lambda_2\otimes\lambda_3$.

В$SU(2)$,$\gamma_k$всегда либо$0$или$1$, но это не общий случай. Даже тензорное сопряжение$SU(3)$с собой - т.е.$(1,1)\otimes (1,1)$или$\boldsymbol{8}\otimes\boldsymbol{8}$в зависимости от вашей нотации - создаст две копии$(1,1)$в разложении, что можно проверить разными способами, например, с помощью таблиц Юнга.

Проблема в том, что не существует простого алгоритма построения базисных элементов для множества копий$\lambda_k$, что означает, что у вас нет весла, когда дело доходит до того, чтобы говорить что-либо о нулях уменьшенных матричных элементов, кроме как в каждом конкретном случае. Ведь множество копий$\lambda_k$математически эквивалентны, поэтому вполне возможно взять (одни и те же глобальные) линейные комбинации базовых элементов в двух (или более) копиях$\lambda_k$быть другим законным основанием. (Это вполне аналогично вырожденной теории возмущений, где в вырожденном подпространстве не выделяются никакие конкретные линейные комбинации базисных состояний.) Если$\rho$отличает возникновение$\lambda_k$, может быть выбор баз, в которых больше$0$появляться в$\langle \lambda_1;\rho_1\Vert T_{\lambda_2;\rho_2}\Vert \lambda_3;\rho_3\rangle$для одного или нескольких конкретных тензоров, но это действительно в каждом конкретном случае.

Для полноты могу добавить, что наиболее известные примеры процедуры построения множественных копий иррепов взяты из$su(3)$. Конечно, это напрямую относится только к вычислению базисных состояний, а не к вычислению сокращенных матричных элементов, но оно в значительной степени зависит от использования теоремы WE для «особых» тензоров сдвига.

Самый известный алгоритм

1. Драайер, Дж. П. и Йошими Акияма. «Коэффициенты Вигнера и Рака для SU (3)». Журнал математической физики 14.12 (1973): 1904-1912 гг.

и продолжение

2. Бахри, К., и Дж. П. Драйер. "SU (3) уменьшенный пакет матричных элементов." Коммуникации по компьютерной физике 83.1 (1994): 59-94. Это полностью числовое значение.

Некоторые ранние аналитические работы можно найти в

3. Hecht, KT "Пересоединение SU3 и дробное происхождение в оболочке 2s-1d". Nuclear Physics 62.1 (1965): 1-36 и проиллюстрирует сложность задачи.

Самая элегантная процедура использует векторную теорию когерентного состояния:

4. Роу, DJ, и Дж. Репка. «Алгебраический алгоритм вычисления коэффициентов Клебша – Гордана; приложение к SU (2) и SU (3)». Журнал математической физики 38.8 (1997): 4363-4388.

и был реализован численно в

5. Бахри, К., Д.Дж. Роу и Дж. П. Драйер. «Программы для генерации коэффициентов Клебша – Гордана SU (3) в базах SU (2) и SO (3)». Коммуникации по компьютерной физике 159.2 (2004): 121-143.

Это также в значительной степени численно, поскольку требует диагонализации некоторых матриц, когда в разложении возникают повторяющиеся невозвраты, но некоторый смысл можно найти в построении состояний при повторяющихся невозвратах в пределе большого представления.