Что такое алгебра Вейля ограниченной бозонной частицы?

Абстрактная алгебра Вейля$W_n$есть *-алгебра, порожденная набором элементов$U(u),V(v)$с$u,v\in\mathbb{R}^n$такое, что (соотношения Вейля)

$$U(u)V(v)=V(v)U(u)e^{i u\cdot v}\ \ Commutation\ Relations$$ $$U(u+u')=U(u)U(u'),\qquad V(v+v')=V(v)V(v')$$ $$U(u)^*=U(-u),\qquad V(v)^*=V(-v)$$ Хорошо известно (теорема Стоуна — Неймана), что все неприводимые представления $\pi:W_n\rightarrow B(H)$этой алгебры такой, что $$s-\lim_{u\rightarrow 0}\pi(U(u))=U(0),\qquad s-\lim_{v\rightarrow 0}\pi(V(v))=V(0)$$ унитарно эквивалентны шредингеровской: $$H\equiv L^2(\mathbb{R}^n)$$ $$\pi(U(u))\equiv e^{i\overline{u\cdot X}},\qquad \pi(V(v))\equiv e^{i\overline{v\cdot P}}$$ где $X,P$- обычные операторы положения и импульса, определенные (и по существу самосопряженные) в пространстве Шварца $S(\mathbb{R}^n)$. По этой причине эту алгебру обычно связывают с квантованием бесспиновой нерелятивистской частицы в $\mathbb{R}^n$. Но что произойдет, если рассматривать бесспиновую частицу, заключенную в подобласти $K\subset\mathbb{R}^n$, например круг $S^1\subset\mathbb{R}^2$, сфера $S^2\subset\mathbb{R}^n$или общее открытое подмножество? Пространство состояний все еще может быть выбрано как $L^2(K)$, а как насчет ассоциированной алгебры Вейля? Я думаю, что его все еще можно определить абстрактно, но, хотя коммутационные отношения должны каким-то образом сохраняться, область параметров $(u,v)$все равно нельзя воспринимать как $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$в противном случае мы попадаем в предыдущий контекст.

Есть ли какой-то рецепт для такой общей ситуации? Чтобы быть более точным: если бозонная частица заключена в подобласти K, возможно ли связать семейство абстрактных элементов$U(u),V(v)$,$u,v$принадлежащие, например, к некоторым аддитивным группам, такие, что выполняются указанные выше свойства Вейля?