Что такое когерентное состояние и почему оно интересно?

Question

Что такое когерентное состояние и почему оно интересно?

зо0х

Обратите внимание, что у меня нет образования в области физики, поэтому, если возможно, воздержитесь от множества $|x\rangle$ обозначений, если только четко не указано, что это символически означает.

Итак, в последнее время я изучаю теорию представлений, в частности, я изучал неприводимые представления, интегрируемые с квадратом, и меня интересуют их приложения. Я пришел к выводу, что для квадратично интегрируемого неприводимого представления $U$ локально компактной группы $G$ на гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$ и допустимый вектор $g \in \mathcal{H}$ , то орбита $\mathscr{O}_g := \{U(x)g\mid x\in G\}$ является когерентным состоянием . Кроме того, если группа $G$ является группой (Вейля) Гейзенберга, то эти когерентные состояния являются «классическими когерентными состояниями» (?).

Итак, я понимаю из этого, что когерентные состояния могут быть описаны этими наборами векторов/функций в гильбертовом пространстве, и иногда они составляют кадры и возможные вейвлеты (?). Как именно понимается такой набор векторов в контексте когерентных состояний? Что описывает когерентное состояние? и чем они интересны?

Если вы можете отослать меня к статьям или литературе, объясняющей эти вопросы в терминах, понятных тем, кто в основном знаком с базовой механикой, я был бы очень признателен.

Анна В

Я полагаю, вы знакомы с классическим примером слаженности действий солдат, сбивающих ногу при переходе моста? en.wikipedia.org/wiki/Broughton_Suspension_Bridge . Когерентность в физике означает идти в ногу, и когда речь идет о волнах, они когерентны, если фазы фиксированы cf лазеры, параграф когерентного света hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/optmod/qualig.html

зо0х

Итак, когерентность — это когда что-то синхронизировано, например, колебания? Чего бы мне действительно хотелось, так это немного понять, как эти когерентные состояния (как в наборах векторов) применяются в физике.

Гарип

Я могу привести вам пример когерентного состояния в квантовой механике. Энергетические собственные волновые функции гармонического осциллятора имеют значительную амплитуду во всей «классически разрешенной» области пространства. Трудно понять, как это относится к шарику и пружине, в которых шарик существует в определенном месте и колеблется. Можно построить состояние (когерентное состояние), в котором волновая функция локализована в классическом месте и колеблется . Это также минимальная волновая функция неопределенности. (Я не могу помочь ни с вашей математикой, ни с классическим примером.)

Анна В

Я привел вам пример с генерацией. Каждый фотон представлен одним из ваших векторов, и они когерентны, если имеют фиксированную фазу при представлении в виде синусоидальной функции. прочитайте предыдущие абзацы

Ответы (1)

Что такое когерентное состояние и почему оно интересно?

Я полагаю, вы знакомы с классическим примером слаженности действий солдат, сбивающих ногу при переходе моста? en.wikipedia.org/wiki/Broughton_Suspension_Bridge . Когерентность в физике означает идти в ногу, и когда речь идет о волнах, они когерентны, если фазы фиксированы cf лазеры, параграф когерентного света hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/optmod/qualig.html
Итак, когерентность — это когда что-то синхронизировано, например, колебания? Чего бы мне действительно хотелось, так это немного понять, как эти когерентные состояния (как в наборах векторов) применяются в физике.
Я могу привести вам пример когерентного состояния в квантовой механике. Энергетические собственные волновые функции гармонического осциллятора имеют значительную амплитуду во всей «классически разрешенной» области пространства. Трудно понять, как это относится к шарику и пружине, в которых шарик существует в определенном месте и колеблется. Можно построить состояние (когерентное состояние), в котором волновая функция локализована в классическом месте и колеблется . Это также минимальная волновая функция неопределенности. (Я не могу помочь ни с вашей математикой, ни с классическим примером.)
Я привел вам пример с генерацией. Каждый фотон представлен одним из ваших векторов, и они когерентны, если имеют фиксированную фазу при представлении в виде синусоидальной функции. прочитайте предыдущие абзацы

юггиб · Answer 1

Я буду определять когерентные состояния в контексте пространств Фока (я думаю, что это проще, чем определять их в квантовой механике, и исторически более точно; для qm см. ссылку в конце). Для любого сепарабельного гильбертова пространства $\mathscr{H}$ , мы можем определить симметричное фоковское пространство $\Gamma_s(\mathscr{H})$ как:

Г_{с} (ЧАС) "=" ⨁_{н "=" 0}^{\infty} {ЧАС}^{\otimes_{с} н}

$\Gamma_s(\mathscr{H})=\bigoplus_{n=0}^\infty \mathscr{H}^{\otimes_s n}$ где

H^{\otimes_{s} 0} = C

$\mathscr{H}^{\otimes_s 0}=\mathbb{C}$ и

\otimes_{s}

$\otimes_s$ является симметричным тензорным произведением. Антисимметричное пространство Фока — это то же самое с заменой симметричных произведений на антисимметричные. Я сосредоточусь на симметричной ситуации, даже если когерентные состояния могут быть определены и для антисимметричных фоковских пространств (с помощью алгебр Грассмана).

На $\Gamma_s(\mathscr{H})$ базовыми (неограниченными) операторами являются операторы рождения и уничтожения $a^*(f)$ и $a(f)$ , $f\in \mathscr{H}$ . Они примыкают друг к другу и являются замыканием

а (ф) г^{\otimes н} "=" \sqrt{н} ⟨ ф, г ⟩_{К} г^{\otimes (н - 1)}

$a(f)g^{\otimes n}=\sqrt{n} \; \langle f , g\rangle_{\mathscr{K}} \; g^{\otimes (n-1)}$

а^{*} (ф) г^{\otimes н} "=" \sqrt{н + 1} ф \otimes_{с} г^{\otimes н}

$a^{*}(f)g^{\otimes n}=\sqrt{n+1} \; f\otimes_s g^{\otimes n}$ Вы можете найти хороший справочник, область определений и другую информацию по второму тому книги Рида и Саймона "Методы современной математической физики" (раздел о свободных квантовых полях). Затем вы можете определить операторы Вейля

Вт (ф) "=" опыт {я (а^{*} (ф) + а (ф))}, ф е ЧАС .

$W(f)=\exp\{i(a^*(f)+a(f))\}\; ,\; f\in \mathscr{H}\; .$ Они унитарны и удовлетворяют соотношениям Вейля

Вт (ф) Вт (г) "=" Вт (ф + г) е^{- я ℑ ⟨ ф, г ⟩_{ЧАС}} .

$W(f)W(g)=W(f+g)e^{-i\Im \langle f,g\rangle_{\mathscr{H}}}\; .$ Кроме того, они транслируют операторы создания и уничтожения и обладают множеством других полезных свойств. Когерентные состояния определяются как

Вт (ф) Ом,

$W(f)\Omega\; ,$ где

Ω

$\Omega$ есть пространственный вакуум Фока, т. е. состояние, имеющее только ненулевую компоненту единичного вектора

H^{\otimes_{s} 0} = C

$\mathscr{H}^{\otimes_s 0}=\mathbb{C}$ .

Соотношения Вейля тесно связаны с теорией представлений (даже если я мало что знаю об этом), и это может быть связь с представлениями вашей группы Вейля-Гейзенберга.

Эти векторы очень важны во многих аспектах физики, например, в квазиклассическом анализе. С экспериментальной точки зрения их легко приготовить, особенно когда приходится иметь дело с излучением (квантовая оптика).

Исчерпывающий и свежий математический обзор когерентных состояний можно найти в этой книге .

Почему когерентные состояния $W(f)\Omega$ равны $e^{-\frac{1}{2}||f||^{2}_{\mathcal{K}}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{\otimes n}}{\sqrt{n!}}$ ?
@GabrielPalau Это следует из прямого вычисления, записывая экспоненту в виде ряда (это возможно в вакууме, поскольку последний является аналитическим вектором для операторов рождения и уничтожения).
И, наверное, если я правильно помню, формула верна для $W(\frac{f}{i})\Omega$ скорее, чем $W(f)\Omega$ .

Что такое когерентное состояние и почему оно интересно?

зо0х

Анна В

зо0х

Гарип

Анна В

Ответы (1)

юггиб

Габриэль Палау

юггиб

юггиб

Доказательство того, что одномерный простой гармонический осциллятор невырожден?

Вакуум в квантовых теориях поля: что это такое?

Почему двухэлектронные системы обычно описывают в синглет-триплетном базисе?

Упрощение суммы произведений коэффициентов Клебша-Гордана

Собственные векторы pxpxp_x в конкретном домене

Можно ли рассматривать собственные состояния гильбертова пространства как дельта-функции?

Симметричные (по существу) самосопряженные операторы и спектральная теорема

Существует ли функция, интегрируемая с квадратом и не стремящаяся к нулю на бесконечности, но принадлежащая области определения оператора импульса?

От спектральной теоремы к соотношению полноты в квантовой механике

Концептуальная трудность в понимании непрерывного векторного пространства