Разговариваю с кем-то, кто пытается убедить меня, что 2 и 1+1 — не одно и то же.
Его аргумент заключался в том, что, хотя 1+1 = 2, на самом деле они разные, потому что обозначения разные. Мы видим «1+1» с одной стороны знака равенства и «2» с другой. Следовательно, 1+1 не равно 2.
Я не уверен, но это рассуждение кажется ошибочным. У меня просто недостаточно глубокого знания философии, чтобы точно указать, почему это так.
Это хороший вопрос, который напоминает мне монументальную работу Фреге « О смысле и референции » .
Принимая классическую точку зрения Фреге, мы говорим, что «2» и «1 + 1» относятся к одному и тому же (то есть к числу 2), но имеют разный смысл . Так что в одном отношении они одинаковы, а в другом — нет.
Одна из причин, по которой Фреге проводит это различие, заключается в том, что утверждение тождества, такого как «1 + 1 = 2», является информативным, а «2 = 2» - нет. Некоторые менее тривиальные примеры: «47 + 119 = 166», «Барак Обама = 44-й президент США».
Да, знаменитая дихотомия равенства через интенсионал и равенства через экстенсионал. Таким образом, проще всего объяснить эту дихотомию.
Будьте осторожны, потому что существует также дихотомия равенство-тождество. Самое приятное то, что эти понятия различаются в зависимости от области математики, в которой вы работаете...
Вы ясно видите, что 1+1 не то же самое, что и 4/2, что одинаково отличается от 2. Работа, связанная с каждой из иллюстраций 2, не одинакова, рассуждения не одни и те же. Конечно, некоторые люди не выносят того, что 2, 1+1 и 4/2 различаются, потому что они ненавидят контекстуализировать результат через метод получения результата. Эти люди, которые ненавидят эту ситуацию, жаждут некоего абсолюта, из которого они утверждают, что метод получения результата не имеет отношения к получению результата. Для них важен результат и ничего больше.
Теперь давайте посмотрим, что произойдет, если вы примете во внимание метод. Как только вы говорите, что метод имеет значение, вы присоединяете к результату 2 метод получения этого 2. Это приводит вас к концепции эквивалентности доказательства (числа 2): самое простое доказательство числа — это данные числа 2. ; вы показываете себе 2, и это самый простой способ доказать 2. Но у вас есть масса других алгоритмов, других способов получения числа 2, и эти методы приводят вас к понятию эквивалентности доказательств.
Я позволяю вам пребывать в этом беспорядке протяженности и интенциональности ради равенства и тождества. https://ncatlab.org/nlab/show/equality https://en.wikipedia.org/wiki/Extensionality
См. Равенство :
В математике равенство — это отношение между двумя величинами или, в более общем смысле, двумя математическими выражениями , утверждающее, что величины имеют одинаковое значение или что выражения представляют один и тот же математический объект .
В математике, когда мы утверждаем равенство: 1+1=2 , мы не утверждаем, что две строки символов 1+1 и 2 равны, но мы утверждаем, что объекты, названные соответственно « 1+1 » и « 2 "являются одним и тем же объектом: цифрой два.
Основываясь на том, как OP сформулировал вопрос: если мы рассматриваем уравнения по буквальному «символическому значению» вместо подразумеваемого значения, почему мы считаем, что «=» является оператором равенства? Разве нам не нужно рассматривать все символы в одном и том же контексте?
Я думаю, что мы должны рассматривать все символы с точки зрения цели, для которой символическое представление изобретено, т.е. математики.
Это так же бессмысленно, как начинать писать по-английски, а в середине предложения переключаться на китайские символы и пытаться применить правила грамматики одного языка к другому.
Бенуберд
Корт Аммон
Джеймс Кингсбери