Действительно ли угловой момент фундаментален?

Примечание . Как указал Дэвид, лучше различать общий угловой момент и орбитальный угловой момент . Первая концепция является более общей и включает в себя вращение, тогда как вторая (как следует из названия) касается только обращения по орбите. Существует также понятие полного углового момента , который является величиной, действительно сохраняющейся в системах с вращательной симметрией. Но при отсутствии спина он совпадает с орбитальным угловым моментом . Именно эту ситуацию я анализирую в первом абзаце.

Угловой момент является фундаментальным. Почему? Теорема Нётер говорит нам, что симметрия системы (в данном случае пространства-времени) приводит к сохранению некоторой величины (импульса для перемещения, орбитального углового момента для вращения). Теперь, как это происходит, евклидово пространство инвариантно как к перемещению, так и к вращению совместимым образом, поэтому эти понятия связаны, и может показаться, что вы можете вывести одно из другого. Но может существовать пространство-время, которое является трансляционным, но не инвариантным к вращению, и наоборот. В таком пространстве-времени вы не получите связи между орбитальным угловым моментом и импульсом.

Теперь, что касается вращения. Опять же, это результат некоторой симметрии. Но в этом случае симметрия возникает из-за вигнеровского соответствия между частицами и неприводимыми представлениями группы Пуанкаре, которая является группой симметрии пространства-времени Минковского . Это соответствие говорит нам о том, что массивные частицы классифицируются по их массе и спину. Но спин — это не орбитальный угловой момент! Спин соответствует группе$Spin(3) \cong SU(2)$который представляет собой двойную обложку$SO(3)$(вращательная симметрия трехмерного евклидова пространства). Так что это совершенно другая концепция, которая только внешне похожа и не может быть напрямую сопоставлена ​​с орбитальным угловым моментом. Один из способов увидеть это состоит в том, что спин может быть полуцелым, но орбитальный угловой момент всегда должен быть целым числом.

Итак, подведем итог:

• орбитальный угловой момент - классическое понятие, которое возникает в любом пространстве-времени с вращательной симметрией.
• спин — это концепция, которая исходит из квантовой теории поля, построенной на пространстве-времени Минковского. Та же концепция работает и для классической теории поля, но там у нас нет четкого соответствия с частицами, поэтому я опустил этот случай.

Дополнение для любознательных

Как указал Эрик, существует нечто большее, чем просто внешнее сходство между орбитальным угловым моментом и спином. Для иллюстрации связи полезно рассмотреть вопрос о том, как меняются свойства частицы при изменении координат (напомним, что сохранение полного углового момента возникает из-за инвариантности к изменению координат, соответствующему вращению). Приступим к более общему рассмотрению любого преобразования$\Lambda$из группы Лоренца. Пусть у нас будет поле$V^a(x^{\mu})$который преобразуется в матричное представление${S^a}_b (\Lambda)$группы Лоренца. Благодаря Вигнеру мы знаем, что это соответствует какой-то частице; например, он может быть скалярным (как бозон Хиггса), биспинорным (как электрон) или векторным (как Z-бозон). Его свойства трансформации под элементом${\Lambda^{\mu}}_{\nu}$затем определяются (с использованием соглашения о суммировании Эйнштейна)

Отсюда можно хотя бы интуитивно увидеть связь между свойствами пространства-времени ($\Lambda$) и частица ($S$). Чтобы вернуться к исходному вопросу:$\Lambda$содержит информацию об орбитальном угловом моменте и$S$содержит информацию о спине. Таким образом, они связаны, но не тривиальным образом. В частности, я не думаю, что очень полезно представлять спин как фактическое вращение частицы (вопреки терминологии). Но, конечно, каждый волен воображать, что, по его мнению, помогает ему лучше понять теорию.

В области классической механики угловой момент почти всегда выводится из линейного количества движения. На самом деле это может быть проблемой, потому что можно сделать и наоборот: линейный импульс — это предельный случай углового момента, когда радиус вращения становится бесконечным. В этом представлении разделение между вращательным и линейным исчезает — вводится новое понятие: бесконечность .

Это не новая моя идея, она утвердилась с 19 века. Используя проективную геометрию, можно интегрировать линейную и угловую кинематику и динамику в одну структуру (т. е. поступательное движение — это вращение вокруг бесконечной оси; чистый момент — это сила вдоль бесконечной линии действия). Ключевые слова: Феликс Клейн, линейные комплексы.

Другая проблема связана с собственным угловым моментом. Я мог бы сказать: изучайте основы, принципы и математику, и в конце концов вы получите целостную картину, но я не верю в это. Я думаю, нам нужна какая-то геометрическая модель электрона, которая позволила бы нам изобразить собственный угловой момент.

назовете ли вы подобное понятие «фундаментальным» — это дело вкуса, а это предложение — всего лишь бессмысленный эмоциональный лозунг. Угловой момент, безусловно, является важной величиной, которая в очень четком смысле так же важна, как и нормальный импульс. Между прочим, оба они сохраняются, если физические законы симметричны относительно переносов и вращений соответственно.

Итак, реальный вопрос заключается в том, почему спин в квантовой механике нельзя свести к орбитальному движению, т.е. к «линейному движению» и обычному «импульсу». Это потому, что объекты в квантовой механике описываются не только их формой в пространстве, но и волновыми функциями, и можно сказать, что волновые функции нетривиально преобразуются (во что-то другое) при вращении.

В частности, если волновая функция (или поле) является вектором или тензором или, чаще всего, спинором, то это означает, что в другой системе координат значения компонент волновой функции будут другими. Это возможно даже в том случае, когда волновая функция (или поле) полностью локализована в одной точке, т.е. ничто не вращается «по орбите».

Угловой момент определяется изменением фазы волновой функции при вращении, которое может происходить из-за зависимости волновой функции от пространства, а также из-за преобразований компонентов волновой функции между собой, что возможно даже если все локализовано в точке. Таким образом, даже точечные объекты могут нести угловой момент в квантовой механике, спин.

Обратите внимание, что спин кратен$\hbar/2$а также$\hbar$стремится к нулю в классическом пределе, поэтому в классическом пределе спин как внутренний угловой момент становится равным нулю и в любом случае исчезает.

Еще одна новая особенность спина состоит в том, что, в отличие от углового момента, он может быть полуцелым, а не просто кратным$\hbar$: также$\hbar/2$возможно. Это потому, что волновые функции (и поля) могут трансформироваться как спиноры, которые меняют знак, если их повернуть на 360 градусов. Только поворот на 720 градусов топологически неотличим от «отсутствия вращения», поэтому волновые функции обязаны вернуться к своим исходным значениям при повороте на 720 градусов. Но фермионы меняют знак при поворотах на 360 градусов, что соответствует их полуцелому спину.

Если слово «фундаментальный» означает, что его нельзя свести к каким-то другим вещам, таким как классическая интуиция о движении и вращении, тогда будьте уверены, что спин чертовски фундаментален, как и вся остальная квантовая механика.

С наилучшими пожеланиями Любош

В классической механике фундаментальные сущности меняются в зависимости от выбранной вами структуры. Если вы занимаетесь классической ньютоновской механикой, я бы сказал, что фундаментальными сущностями являются положения и скорости. Все остальные могут быть получены из них, и динамика частиц описывается в терминах их функций (силы являются функциями времени, положения и скорости).

Но если вы обратитесь к гамильтоновой механике, то позиции и импульсы станут фундаментальными. И гамильтониан может быть выражен как функция от них и, возможно, от времени.

Ясно, что в классической механике угловой момент всегда является производной величиной, потому что это всегда орбитальный угловой момент, а не собственный угловой момент. Даже когда у вас есть объект, вращающийся вокруг собственной оси, это можно понимать как частицы, составляющие объект, совершающие орбитальное движение. Конечно, можно написать гамильтонианы, зависящие от углового момента волчка, но это описания более высокого уровня, момент импульса волчка в принципе можно было бы еще разложить на орбитальные угловые моменты его составляющих. Конечно, это был бы не очень практичный подход к решению проблем.

Следовательно, как вы говорите, фундаментальный собственный угловой момент является новинкой в ​​квантовой механике. Обычно он входит в уравнения через многозначность волновой функции. Скажем, частица со спином 1/2 должна описываться двумя независимыми компонентами волновых функций (компонентов может быть больше, но они не будут независимыми). Я не знаю никакого способа обойти это. Это основной факт того, как работает природа, и он связан с представлениями группы симметрии пространства-времени.

Поскольку группа симметрии пространства-времени в основном одна и та же в квантовой и классической физике, я не понимаю, однако, почему в классической механике невозможно описать частицы с собственными импульсами. Я думаю, что это, конечно, возможно в принципе. Вопрос в том, полезно ли это? Поскольку все наши элементарные частицы должны описываться на квантовом уровне, какая польза от классической теории частиц с собственными импульсами? Кроме как в смысле решения таких задач, как вершина, путем упрощения или что-то в этом роде?

РЕДАКТИРОВАТЬ: На самом деле классические теории поля имеют спин. Вспомните, например, уравнения Максвелла.

Намек на особую роль углового момента возникает при поиске сопряженной ему переменной. Это угловое положение, которое является безразмерным . И тогда у вас есть то, что любое произведение переменной, умноженной на ее сопряжение, имеет единицы действия, которые являются теми же единицами, что и угловой момент. Итак, классическая механика уже говорит нам, что что-то происходит. (Предостережение: у вас могут быть одни и те же единицы измерения для скалярного произведения и для векторного произведения, а физический смысл разный. Если вы читали брошюры немецких производителей автомобилей и двигателей, вы могли заметить единицу «Нм», ньютон, умноженный на метр. , а единица измерения «Джоуль» используется по-разному.)

Существует очень простое и краткое полуклассическое объяснение углового момента вращения электрона без понятия вращения какого-либо материального объекта: качественно говоря, угловой момент вращения электрона — это угловой момент электромагнитного поля, возникающий в результате комбинированного электромагнитного поля, окружающего именно таким образом, что создается ненулевой вектор Пойнтинга, циркулирующий вокруг оси диполя электрона, что также означает, что вокруг оси диполя электрона циркулирует постоянный поток электромагнитной энергии. Релятивистская электродинамика демонстрирует, что любой вид потока энергии связан с потоком количества движения (параллельным вектору Пойнтинга), который сам по себе может быть связан с угловым моментом относительно данной точки или оси отсчета. Следовательно, циркуляция энергии вокруг оси диполя электрона эквивалентна циркуляции импульса. При интегрировании по всему пространству вокруг электрона в результате получается значительная часть, если не весь спиновый угловой момент электрона, распределенный в этом пространстве. (См., например, Фейнман Том II)

Количественная оценка углового момента электромагнитного поля электрона дана в:
Блиндер С.М. Бессингулярная электродинамика для точечных зарядов и диполей: классическая модель собственной энергии и спина электрона, Eur. Дж. Физ. 24 (2003) 271-275 ( препринт из архива ).

Любош писал: «Угловой момент определяется изменением фазы волновой функции при вращениях, которое может исходить из зависимости волновой функции от пространства, но также и из преобразований компонентов волновой функции между собой. , что возможно, даже если все локализовано в точке. Таким образом, даже точечные объекты могут нести угловой момент в квантовой механике, спин ».

В QM невозможно и не нужно навязывать R = 0 (см. мой блог), чтобы система находилась в покое. Наоборот, надо положить P = 0. Это означает не точечность, а повсеместность .

Есть статья Р. Оганяна о спине . Но я боюсь, что это, наконец, тавтология или около того.

Я думаю, что угловой момент является фундаментальным. Я думаю, что даже в классической механике описание чего-либо с помощью только трех координат R (t) слишком примитивно. Вообще все не точечно и вращается, грубо говоря. Таким образом, собственный угловой момент J столь же фундаментален, как и линейный импульс P (а также цвет, заряд и вкус ;-).

Что касается спина и протяженных частиц, я бы сказал наоборот: интуиция не противоречит интуиции, что точечные частицы обладают некоторым собственным угловым моментом, потому что точка выглядит так, как будто в нее заложена некоторая встроенная инвариантность к вращению. Удивительно то, что протяженные объекты обладают этим угловым моментом без точки поворота вращательной симметрии.

Это нечто большее, чем Спин, являющийся внутренним угловым моментом. У электрона есть «внутренняя степень свободы» — быть левым или правым, и он может покинуть точку A с правым спином и прибыть в B с левым спином. Таким образом, Паули нуждается в двух сложных компонентах в своем уравнении. (в отличие от фотона, который приходит с тем же спином, хотя у него тоже есть LH и RH, поэтому нет внутренней степени свободы). Это отличается от вектора вращения, который определяет направление в пространстве. Двузначность возникает из-за того, что вращение происходит вокруг бивектора, который может указывать вверх или вниз вдоль оси вращения. Можно совершать пространственные вращения в любом случае — и электроны, похоже, делают различие — как если бы их было два вида, но все остальное имеет одинаковую массу и заряд, поэтому мы говорим, что это одна и та же частица с противоположными спинами. Таким образом, кажется, что нет необходимой связи ни с теорией относительности (за исключением фиксации фактора Томаса в уравнении Паули), ни с КТП. У Гамильтона была алгебра, позволяющая провести классическое различие между левым и правым — она встроена в алгебру кватернионов, но он не рассматривал ее как механическое свойство частиц — но, черт возьми, он также не видел уравнения Максвелла.

Существование спина частицы, конечно, указывает на то, что частица на самом деле состоит из частей, разделенных пространством. Однако это не означает, что частица состоит из других частиц.

Например, в настоящее время известно, что по крайней мере часть спина электрона является фактически орбитальным моментом квантовых флуктуаций вакуума, которые ядро ​​электрона вовлекает во вращение. Эта часть известна как аномальный угловой момент электрона.

Другим примером является фотон, где спин можно объяснить как порядок, в котором энергия, содержащаяся в электрическом и магнитном полях, вращается вокруг оси, проложенной вдоль направления распространения фотона.