Должны ли ограниченные операторы иметь нормализуемые собственные функции и дискретные собственные значения?

Общего правила нет. Однако существует класс ограниченных самосопряженных операторов, спектр которых состоит из ограниченного набора изолированных точек (собственных собственных значений), за исключением$0$самое большее - и собственные пространства, связанные с этими собственными значениями, конечномерны. Это так называемые компактные операторы (этот класс включает в себя классы важных в КМ операторов, таких как операторы Гильберта-Шмидта и ядерные операторы ). Однако существуют операторы, которые не компактны, но имеют чисто точечный спектр. Примером может служить гамильтониан гармонического осциллятора, собственные пространства которого также конечномерны, но он не ограничен. Причина, по которой спектр имеет те же свойства, что и у компактных операторов, заключается в том, что обратные степени этих операторов или связанных с ними резольвентных операторов ограничены и компактны.

Наоборот, примером ограниченного оператора с чисто непрерывным спектром является оператор положения в$L^2([0,1], dx)$определяется как обычно

ПРИМЕЧАНИЕ . Относительно добавленного вами последнего пункта (связь между нормируемостью собственных функций и дискретностью собственных значений) ситуация следующая.

Если$\lambda\in \sigma(A)$является изолированной точкой спектра ($\sigma(A)$) самосопряженного оператора$A$. затем$\lambda$является правильным собственным значением, и поэтому их собственные векторы являются правильными (нормализуемыми) собственными векторами. Итак, как вы полагаете, на жаргоне физиков «дискретные собственные значения» — это правильные собственные значения с нормализуемыми собственными векторами.

Обратное, однако, в целом неверно . Вы можете получить баллы$\lambda$в непрерывной части$\sigma(A)$(сказать,$\lambda \in (a,b)$с$(a,b) \in \sigma(A)$), которые являются собственными значениями. Даже в несепарабельном гильбертовом пространстве можно построить самосопряженный оператор$A$такой, что$\sigma(A)=[0,1]$и все точки$[0,1]$являются правильными собственными значениями с правильными собственными векторами . В сепарабельном гильбертовом пространстве это невозможно, но легко построить оператор, множество собственных значений которого плотно в$[0,1]$.

Предварительные сведения: если вы «ограничите» свое описание квантовой механики$L_2$В гильбертовых пространствах все ваши базы будут дискретными, как ограниченными, так и неограниченными. У вас могут быть гильбертовы пространства любой мощности, но в «стандартной» квантовой механике$L_2$, пространство функций, интегрируемых с квадратом, имеющее счетную мощность,$\aleph_0$. В этом случае даже неограниченные решения, такие как свободная частица в ящике длины$l$, куда$l$может быть сколь угодно большим, будет счетным.

Вам может не нравиться свободная частица в коробке по разным причинам, и вы можете захотеть устранить коробку и сделать пространство бесконечным. Теперь вы больше не можете применять квантовую механику гильбертова пространства, потому что решения не принадлежат$l_2$.

Чтобы исправить это, мы используем дельту Дирака (обобщенную функцию или распределение, которое не принадлежит$L_2$). Первоначально это была легкая рука, которая хорошо работает на практике, но не является математически строгой. Сегодня это было формализовано в так называемые оснащенные гильбертовы пространства , которые могут включать в себя распределения и, следовательно, бесконечно непрерывное число измерений мощности.$\aleph_1$). Оснащенные гильбертовы пространства обычно не затрагиваются во введении в квантовую механику, только небрежное введение дельта Дирака сделано неформально.

Ответ: После всех предварительных ответов ответ будет краток. Непрерывные решения появляются в оснащенных гильбертовых пространствах как для ограниченных, так и для неограниченных состояний. Один набор непрерывных ограниченных решений появляется в физике твердого тела. В пределе бесконечного числа атомов энергетические полосы изоляторов, металлов и всего, что между ними, становятся непрерывными (в результате «слияния» счетного числа дискретных энергетических уровней, которые сливаются в непрерывную полосу).