Дискретные и непрерывные спектры операторов [дубликаты]

Рассмотрим оператор$A$на гильбертовом пространстве$\cal H$, сказать$L^2(\mathbb R)$для того, чтобы иметь дело с КМ частицы на действительной оси без спина. Позволять$D(A) \subset \cal H$быть доменом$A$.

Спектр$\sigma(A)\subset \mathbb C$из$A$определяется как объединение следующих трех попарно непересекающихся подмножеств$\sigma_p(A)$,$\sigma_c(A)$,$\sigma_r(A)$. Первый — это то, что вы называете дискретным спектром , но его имя — точечный спектр (дискретный спектр — его частный случай).

Спектр точек ,$\sigma_p(A)$. состоит из комплексных чисел$\lambda$такой, что$A-\lambda I :D(A) \to {\cal H}$не является инъективным.

Следовательно, по определению, если$\lambda \in \sigma_p(A)$должно быть$\psi \in \cal H$такой, что$A\psi = \lambda \psi$.

Непрерывный спектр ,$\sigma_c(A)$. состоит из комплексных чисел$\lambda$такой, что$A-\lambda I :D(A) \to {\cal H}$инъективен,$(A-\lambda I)^{-1} : Ran(A) \to D(A)$не ограничено и$Ran(A-\lambda I)$плотный в$\cal H$.

Следовательно, по определению, если$\lambda \in \sigma_c(A)$, нет $\psi \in \cal H$с$A\psi = \lambda \psi$.

Остаточный спектр ,$\sigma_r(A)$. состоит из комплексных чисел$\lambda$такой, что$A-\lambda I :D(A) \to {\cal H}$инъективен,$(A-\lambda I)^{-1} : Ran(A) \to D(A)$ограничено, и$Ran(A-\lambda I)$не плотный в$\cal H$.

Эта последняя компонента спектра всегда пуста для нормальных (вообще говоря, неограниченных) операторов. В частности, самосопряженные и унитарные операторы не имеют остаточного спектра. По этой причине остаточный спектр не появляется в КМ, за исключением исключительных случаев.

Если$\lambda \in \sigma_c(A)$, для каждого$\epsilon >0$, есть$\psi_\epsilon \cal H$с$||\psi_\epsilon||=1$и

При соответствующих дальнейших предположениях о гильбертовом пространстве (оснащенном гильбертовом пространстве) множество$\psi_\epsilon$допускает предел вне гильбертова пространства. Дистрибутивы$\delta(x-x_0)$являются типичными примерами этой ситуации при обращении к оператору положения$X$в$L^2(\mathbb R)$, с$\sigma(X)=\sigma_c(X)= \mathbb R$.