Некоторая путаница в отношении особенностей геометрической формулировки лагранжевой механики и теоремы Нётер.

Question

Некоторая путаница в отношении особенностей геометрической формулировки лагранжевой механики и теоремы Нётер.

действие
Физика
симметрия
Нётер-теорема
лагранжев формализм
вариационное исчисление

Чарли

Я хотел бы решить несколько проблем, которые у меня возникли относительно точной процедуры лагранжевой механики, сформулированной как касательное расслоение конфигурационного пространства. Эти проблемы не слишком технические, но ниже я перечислю определения, чтобы мы все были на одной волне и на тот случай, если мое замешательство возникнет из-за неправильных определений , которые будут очевидны читателю с самого начала.

Определения:

Под конфигурационным пространством я имею в виду $\Bbb R^N:=M$ , $N$ -мерное многообразие, точки которого связаны с положениями наших частиц. Этот вопрос не относится к обобщению на теории поля. Отправной точкой лагранжевой механики является касательное расслоение этого многообразия. $\Bbb R^{2N}:=TM$ . Тогда лагранжиан является скалярной функцией касательного расслоения:

\begin{matrix} (1) & л : Т М \to р . \end{matrix}

$\mathcal L:TM\rightarrow \Bbb R \tag{1}.$

Действие есть функционал, который априори является функционалом траекторий через $TM$ (в частности, не через конфигурационное пространство, вообще говоря, т.к. $q(t)$ и $\dot q(t)$ являются независимыми параметрами, если только мы явно не находимся на решении уравнений движения (EOM)).

Когда мы говорим «на оболочке», мы ограничиваем наше обсуждение таким образом, что областью действия функционала являются траектории, проходящие через $TM$ так что уравнения Эйлера-Лагранжа выполняются. В данном конкретном случае достаточно указать кривую через конфигурационное пространство, т.к. $q(t)$ и $\dot q(t)$ координаты связаны через $\dot q(t)=\frac{dq(t)}{dt}$ .

Когда мы говорим вне оболочки, мы имеем в виду, что рассматриваем все возможные траектории через $TM$ без гарантии выполнения уравнений Эйлера-Лагранжа и, в частности, $\dot q(t)\neq \frac{dq(t)}{dt}$ в общем.

Всюду предполагается, что лагранжиан не имеет явной зависимости от времени.

Примечание. Я использую термин «симметрия» здесь, когда, возможно, более правильным термином является «квазисимметрия», как объясняет QMechanic здесь и в других местах на сайте.

Теперь теорема Нётер утверждает, что для каждой непрерывной симметрии действия вне оболочки существует соответствующая сохраняющаяся на поверхности величина $f(q(t),\dot q(t))$ , часто называемый «зарядом Нётер». Однако вопрос физики SE здесь, по сути, спрашивает, эквивалентны ли симметрии лагранжиана и симметрии действия, на что ответ (по модулю некоторых технических деталей) - да.

Тогда моя проблема заключается в том, как определить «симметрии действия» и «симметрии лагранжиана». Поскольку мы работаем с многообразием, кажется естественным спросить, означает ли симметрия лагранжиана просто то, что мы производим замену координат на $TM$ (т.е. мы работаем с пассивными преобразованиями), так что преобразованная функция Лагранжа имеет вид:

\begin{matrix} (2) & д (т) \to д^{'} (т), \dot{д} (т) \to {\dot{д}}^{'} (т) \Rightarrow л^{'} (д^{'} (т), {\dot{д}}^{'} (т)) "=" л (д (т), \dot{д} (т)) + \frac{г Ф}{г т} + О (ϵ^{2}) . \end{matrix}

$q(t)\rightarrow q'(t),\quad \dot q(t)\rightarrow \dot q'(t)\quad \Rightarrow\quad \mathcal L'(q'(t),\dot q'(t))=\mathcal L(q(t),\dot q(t))+\frac{dF}{dt}+\mathcal O(\epsilon^2) \tag{2}.$

Другими словами, наше преобразование координат вызывает изменение лагранжиана до первого порядка, так что разность выражается как полная производная по времени от некоторой функции $F(q(t),\dot q(t))$ . Если это неверно, я был бы признателен за некоторые рекомендации по более правильному ответу.

С другой стороны, действие является функциональным , и поэтому «симметрия» действия (может быть?) требует другой конструкции, и поэтому то, как именно можно было бы вызвать изменение в действии, является еще одним пунктом путаницы. Поскольку мы говорим о симметриях действия вне оболочки, я предполагаю, что мы должны говорить о внесении некоторого общего изменения во все допустимые (гладкие) кривые через касательное расслоение и спросить, возможно ли такое изменение:

\begin{matrix} (3) & γ (д (т), \dot{д} (т)) \to γ^{'} (д (т), \dot{д} (т)) \Rightarrow С [γ] "=" С [γ^{'}] . \end{matrix}

$\gamma (q(t),\dot q(t))\rightarrow \gamma'(q(t),\dot q(t))\quad \Rightarrow\quad S[\gamma]=S[\gamma'] \tag{3}.$

Опять же, я не уверен, что это точное описание того, что мы делаем, и если это не так, я был бы признателен за толчок в правильном направлении и здесь. Возможно, симметрии действия просто связаны с изменением координаты на $TM$ , и нам не нужно утруждать себя разговором о преобразованиях на пространстве кривых $\gamma:[t_1,t_2]\rightarrow TM$ ?

Я надеюсь, что это не слишком большая информационная свалка, чтобы на нее можно было ответить, однако мне не удалось найти ответ на сайте, в котором прямо говорится о дифференциальной геометрической структуре и решаются мои проблемы.

Ответы (3)

Некоторая путаница в отношении особенностей геометрической формулировки лагранжевой механики и теоремы Нётер.

Ричард Майерс · Answer 1

Во-первых, если я вас правильно понял, я полагаю, что у вас есть определения, верные вплоть до вещей, которые, возможно, происходят на границах области интеграции (время, здесь). Хотя, если вас беспокоит сравнение между высказыванием в терминах действия и в терминах лагранжиана, то, возможно, это немаловажный момент.

Чтобы прокомментировать преобразования в (2) и (3), обратите внимание, что эти идеи можно объединить, рассматривая вместо этого действие векторного поля $\xi$ на TM, как определено его потоком (и, следовательно, бесконечно малые преобразования задаются производными Ли ... действительно, изменение лагранжиана и действия теперь также задается действием Ли $\xi$ поскольку они являются скалярами над TM). Преимущество использования потоков заключается в устранении зависимости от координат, поскольку, в конце концов, если все, что вы делаете, это определяете преобразования координат, то любая хорошая, независимая от координат величина в TM должна быть слепой к таким изменениям.

Дайте мне знать, если это не совсем то, что вы ищете.

Это может не решать ваш вопрос напрямую, потому что он касается теории поля и отказывается от этого описания касательного пучка, но, возможно, такие вещи вызовут отклик, если вы не сталкивались с этим раньше.

Qмеханик · Answer 2

Обозначение: имейте в виду, что, в отличие от OP, точка обозначает временную дифференциацию.
$\dot{д} \equiv \frac{г д}{г т}$ $\dot{q}~\equiv~ \frac{dq}{dt}$ в этом ответе.
ОП правильно определяет эту обобщенную позицию $q$ и обобщенная скорость $v$ являются независимыми переменными лагранжиана $L(q,v,t)$ , ср. например, этот пост Phys.SE.
Однако при бесконечно малом вертикальном преобразовании $\delta q$ , определение, что $\delta$ является бесконечно малой квазисимметрией лагранжиана $L$ в том, что $\delta L(q,\dot{q},t)$ является полной производной по времени, а не $\delta L(q,v,t)$ является полной производной по времени.
На карту поставлена проблема, похожая на этот связанный пост Phys.SE.

Спасибо за ответ на этот вопрос, я ценю ваше время. Как продолжение пункта 3, здесь подразумевается, что при любом преобразовании в области действия $(q(t)\rightarrow q'(t))$ индуцированное изменение кривой в касательном расслоении (по которому мы интегрируем функцию Лагранжа) таково, что $\dot q(t)=dq(t)/dt$ $\forall t$ ? Другими словами, единственный момент в нашем обсуждении классической механики, в котором $q$ и $\dot q$ (или $q$ и $v$ как вы отмечаете в своем ответе) являются независимыми величинами в их роли координатных функций на $TM$ .
Да, с $\dot{q}$ в ваших обозначениях $v$ в моих обозначениях :)

Чарли · Answer 3

Прочитав достаточно много за последние 24 часа, я думаю, что теперь я в состоянии самостоятельно ответить на этот вопрос.

Ответ , данный здесь ACuriousMind, касается моего вопроса о домене функционала действия. Таким образом, в то время как $q$ и $\dot q$ являются, конечно, независимыми функциями на уровне многообразия касательного расслоения $TM$ , мы не рассматриваем произвольные кривые, проходящие через касательное расслоение, как область действия. Скорее кривые через $M$ (конфигурационное пространство), $\gamma(q(t))$ , естественным образом индуцируют кривые на $TM$ , $\bar \gamma(q(t),\dot q(t))$ , так что действие определяется:

\begin{matrix} (1) & С [γ (д (т))] "=" \int_{т_{0}}^{т_{1}} г т л (\bar{γ} (д (т), \dot{д} (т)) . \end{matrix}

$S[\gamma(q(t))]=\int_{t_0}^{t_1}dt\text{ }\mathcal L(\bar \gamma(q(t),\dot q(t)) \tag{1}.$

Таким образом, во все времена, варьируя наш путь (будь то при выводе уравнений Эйлера-Лагранжа или в теореме Нётер), мы имеем дело с кривыми через конфигурационное пространство , так как это область действия.

Мое определение on-shell и off-shell также неверно. Вне оболочки относится к кривым $\bar \gamma(q(t),\dot q(t))$ (в котором $\dot q=dq(t)/dt$ ), которые не решают уравнения Эйлера-Лагранжа, на оболочке относится к подмножеству этих кривых, которые решают уравнения Эйлера-Лагранжа.

Некоторая путаница в отношении особенностей геометрической формулировки лагранжевой механики и теоремы Нётер.

Чарли

Ответы (3)

Ричард Майерс

Qмеханик

Чарли

Qмеханик

Чарли

Почему вариация симметрии δsqδsq\delta_s q отличается от обычной вариации δqδq\delta q?

Прояснение некоторых простых деталей типов симметрий, связанных с теоремой Нётер.

Заряд Нётер для лагранжиана с производными высшего порядка

Вывод тока Нётер

Как применить теорему Нётер

Преобразования на оболочке и вне оболочки в теореме Нётер

Инвариантность действия против лагранжиана в теореме Нётер?

Преобразование имеет δL=0δL=0\delta \mathcal{L}=0, но δS≠0δS≠0\delta S \neq 0 и δS≠ϵ∫∂Ωd3xfδS≠ϵ∫∂Ωd3xf\delta S \neq \epsilon \int_{ \partial\Omega} d^3 xf

Что означает инвариантность действия относительно x→x′x→x′x \to x', ϕ→ϕ′ϕ→ϕ′\phi \to \phi'?

Доказательство теоремы Нётер: как быть с преобразованиями во времени?