Прояснение некоторых простых деталей типов симметрий, связанных с теоремой Нётер.

Я просто хотел бы удостовериться, что полностью понял содержание теоремы Нётер и некоторые ее детали. Общее утверждение теоремы Нётер относительно прямолинейно, однако есть тонкости, связанные с тем, что именно представляет собой симметрия, и последствиями работы на и вне оболочки.

---

Симметрия

Я обсуждаю здесь два понятия симметрии, а именно:

Квазисимметрия : в которой в первом порядке действие изменяется на граничный член и / или лагранжиан изменяется на полную производную:

$$\delta S=[B(q)]_{t_0}^{t_1},\quad \delta L=\frac{dF(q)}{dt} \tag{1.a}.$$

Симметрия : в которой в первом порядке обе величины инвариантны :

$$\delta S=0,\quad \delta L=0. \tag{1.b}$$

---

Встроенная и вне оболочки

Под «на-оболочке» мы подразумеваем подмножество кривых, проходящих через конфигурационное пространство,$Q\cong R^N$, которые решают уравнения Эйлера-Лагранжа.

Под внешними мы подразумеваем более общий набор кривых, которые не обязательно решают уравнения Эйлера-Лагранжа.

---

Теорема Нётер

Теперь мы обсудим фактическое содержание теоремы Нотера о том, что симметрия вне оболочки (или, в более общем смысле, квазисимметрия) действия подразумевает существование сохраняющейся величины на поверхности . Другими словами, общее преобразование области функционала действия подразумевает сохраняющуюся величину вдоль подмножества области, которая решает уравнения Эйлера-Лагранжа.

Общее бесконечно малое изменение действия можно записать:

$$\delta S[q(t)]=\int_{t_0}^{t_1} dt\left( \frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot q} \right)\right)\delta q+\left[\frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta q\right]_{t_0}^{t_1}, \tag{2}$$

Если мы теперь будем работать в оболочке, в которой$q(t)$решает уравнения ЭЛ, а подынтегральная функция обращается в нуль, у нас остается несколько возможностей:

1. $\delta q$удовлетворяет граничному условию$\delta q(t_0)=\delta q(t_1)=0$, в этом случае граничный член обращается в нуль, и это просто утверждение, что все преобразования первого порядка действия по уравнениям движения равны нулю.

2. $\delta q$не удовлетворяет граничным условиям, и в этом случае у нас остаются еще две возможности: либо$\delta q$является симметрией или$\delta q$является квазисимметрией (при условии, конечно, что это вообще симметрия).

Если$\delta q$является симметрией, то верно следующее:

$$\left[\frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta q\right]_{t_0}^{t_1}=0\quad \Rightarrow \quad \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta q\right)=0, \tag{3}$$ и мы получаем наш сохраняющийся «нётеровский заряд».

Если же$\delta q$является квазисимметрией , то по (1.а) находим:

$$\left[\frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta q\right]_{t_0}^{t_1}=\left[B(q(t))\right]_{t_0}^{t_1}\quad \Rightarrow \quad \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta q-B(q(t))\right)=0, \tag{4}$$

и мы получаем несколько иной нётеровский заряд. Затем мы можем наконец (см. этот пост ) связать квазисимметрию действия и квазисимметрию лагранжиана следующим образом:

$$B(q(t))=F(q(t)) \tag{5},$$

что закрывает возможные исходы.

Мой вопрос заключается в том, верны ли приведенные выше утверждения, если мы ограничим наше внимание квазисимметриями, и если нет, то где в моих определениях и/или выводах я допустил ошибки?

Я понимаю, что это немного открытый вопрос, но эта тема подробно обсуждается на этом сайте, и после довольно подробного прочтения связанных вопросов я думаю, что этот итоговый вопрос подходит. роль. Но извините, если это не по правилам.