Что означает инвариантность действия относительно x→x′x→x′x \to x', ϕ→ϕ′ϕ→ϕ′\phi \to \phi'?

Question

Что означает инвариантность действия относительно x→x′x→x′x \to x', ϕ→ϕ′ϕ→ϕ′\phi \to \phi'?

Кнчжоу

Я вдруг очень запутался в основном вопросе. Предположим, кто-то сказал вам, что действие инвариантно относительно преобразования

Икс \to {Икс}^{'}, ф (Икс) \to ф^{'} ({Икс}^{'}) .

$x \to x', \quad \phi(x) \to \phi'(x').$ Я понимаю, что это обозначение неоднозначно, но, похоже, оно распространено. Например, можно небрежно определить преобразование Лоренца как

Икс \to Λ Икс, ф \to ф (Λ^{- 1} Икс)

$x \to \Lambda x, \quad \phi \to \phi(\Lambda^{-1}x)$ или преобразование растяжения как

Икс \to λ Икс, ф \to λ^{α} ф (Икс / λ) .

$x \to \lambda x, \quad \phi \to \lambda^\alpha \phi(x/\lambda).$

Теперь предположим, что действие

С_{000}^{0} знак равно \int_{а}^{б} г Икс час (ф (Икс)) .

$S_{000}^0 = \int_a^b dx \, h(\phi(x)).$ Тогда я могу придумать пятнадцать вещей, которые может наивно означать выражение «действие инвариантно». Определять

С_{111}^{1} знак равно \int_{ф (а)}^{ф (б)} г {Икс}^{'} час (ф^{'} ({Икс}^{'})), С_{101}^{0} знак равно \int_{а}^{б} г {Икс}^{'} час (ф ({Икс}^{'})), С_{010}^{1} знак равно \int_{ф (а)}^{ф (б)} г Икс час (ф^{'} (Икс))

$S^1_{111} = \int_{f(a)}^{f(b)} dx' \, h(\phi'(x')), \quad S^0_{101} = \int_a^b dx'\, h(\phi(x')), \quad S^1_{010} = \int_{f(a)}^{f(b)} dx \, h(\phi'(x))$ вместе с двенадцатью другими величинами, которые, надеюсь, не требуют пояснений. Тогда одна из этих величин равна

S_{000}^{0}

$S_{000}^0$ , но какой из них обычно имеется в виду?

Квантовая спагеттификация

Я страдаю от похожей путаницы. Вот несколько источников, которые до сих пор мне помогали: scl.rs/papers/QFT2notes.pdf (pdf-pg74, fact-pg67) и условия поиска: «вариация формы» и «полная вариация».

Ответы (2)

Что означает инвариантность действия относительно x→x′x→x′x \to x', ϕ→ϕ′ϕ→ϕ′\phi \to \phi'?

Я страдаю от похожей путаницы. Вот несколько источников, которые до сих пор мне помогали: scl.rs/papers/QFT2notes.pdf (pdf-pg74, fact-pg67) и условия поиска: «вариация формы» и «полная вариация».

Qмеханик · Answer 1

Теорема Нётер работает даже для негеометрических теорий, поэтому, чтобы быть как можно более общими и простыми, мы не будем использовать понятия и понятия из дифференциальной геометрии. Для целей теоремы Нётер достаточно обсудить бесконечно малые вариации:
$\begin{matrix} (1) & дельта {Икс}^{мю} знак равно {Икс}^{' мю} - {Икс}^{мю} знак равно ε {Икс}^{мю} (Икс), \end{matrix}$ $\delta x^{\mu} ~:=~ x^{\prime\mu} - x^{\mu} ~=~ \varepsilon~ X^{\mu}(x),\tag{1}$ $\begin{matrix} (2) & дельта ф^{α} (Икс) знак равно ф^{' α} ({Икс}^{'}) - ф^{α} (Икс) знак равно ε Д^{α} (ф (Икс), \partial ф (Икс), Икс), \end{matrix}$ $\delta\phi^{\alpha}(x) ~:=~\phi^{\prime\alpha}(x^{\prime})-\phi^{\alpha}(x) ~=~ \varepsilon~ Y^{\alpha}(\phi(x),\partial\phi(x), x),\tag{2}$ куда $\varepsilon$ является бесконечно малым ( $x$ -независимый) параметр, и $X^{\mu}$ и $Y^{\alpha}$ являются генераторами.
Если $V~\subseteq~\mathbb{R}^4$ является областью пространства-времени, пусть
$\begin{matrix} (3) & В^{'} знак равно {{Икс}^{'} е р^{4} ∣ Икс е В} \subseteq р^{4} \end{matrix}$ $V^{\prime}~:=~\{ x^{\prime}\in \mathbb{R}^4 \mid x \in V \} ~\subseteq~\mathbb{R}^4 \tag{3}$ обозначают разнообразную область пространства-времени.
Бесконечно малая вариация действия по определению
$\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} дельта С_{В} знак равно & С_{В^{'}} [ф^{'}] - С_{В} [ф] \\ знак равно & \int_{В^{'}} г^{4} {Икс}^{'} л (ф^{'} ({Икс}^{'}), \partial^{'} ф^{'} ({Икс}^{'}), {Икс}^{'}) \\ - \int_{В} г^{4} Икс л (ф (Икс), \partial ф (Икс), Икс) . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}\delta S_V~:=~& S_{V^{\prime}}[\phi^{\prime}] -S_V[\phi]\cr ~:=~& \int_{V^{\prime}}\! d^4x^{\prime}~{\cal L}(\phi^{\prime}(x^{\prime}),\partial^{\prime}\phi^{\prime}(x^{\prime}),x^{\prime}) \cr &-\int_V\! d^4x~{\cal L}(\phi(x),\partial\phi(x),x).\end{align}\tag{4}$ Формула (4) $S^1_{111}-S^0_{000}$ в обозначениях ОП. См., например, ссылки. 1 и 2.
Бесконечно малая вариация (1) и (2) называются квазисимметрией действия, если инфинитезимальная вариация (4) является граничным интегралом, ср. мой ответ Phys.SE здесь . В положительном случае теорема Нётер приводит к закону сохранения на оболочке.

Использованная литература:

Г. Гольдштейн, Классическая механика, 2-е издание, раздел 12.7.
Г. Гольдштейн, Классическая механика, 3-е издание, разделы 13.7.

Спасибо за ответ! Есть ли шанс, что вы могли бы указать мне на ресурс, посвященный теореме Нётер, когда все три вещи ( $V$ , $x$ , $\phi$ ) изменение?

Ультима · Answer 2

Я делаю предположение, что $S[\phi(x)]$ есть некоторый функционал действия для теории поля $\phi$ . Важно отметить, что симметрии действуют только на поля, а не на координаты. Вы должны думать о координатах как о фиктивных переменных, при этом преобразование координат эквивалентно переименованию. С учетом этого, если при преобразовании поля $\delta$

дельта : ф (Икс) \mapsto ф^{'} (Икс)

$\delta: \phi(x) \mapsto \phi'(x)$ действие удовлетворяет

С [ф^{'} (Икс)] знак равно С [ф (Икс)],

$S[\phi'(x)] = S[\phi(x)],$ мы говорим, что

δ

$\delta$ является симметрией теории.

Теперь, как говорится, иногда полезно думать о преобразовании как о преобразовании координат, которое затем вызывает преобразование полей. На этом рисунке преобразование координат $\delta'$ , с

{дельта}^{'} : Икс \mapsto {Икс}^{'}

$\delta': x \mapsto x'$ естественным образом индуцирует преобразование поля

ф^{'} ({Икс}^{'}) знак равно ф (Икс) .

$\phi'(x') = \phi(x).$ Конечно, из-за этого утверждения всегда верно, что

С [ф^{'} ({Икс}^{'})] знак равно С [ф (Икс)] .

$S[\phi'(x')] = S[\phi(x)].$ Обратите внимание на разницу между предыдущим утверждением о действии. Первое следует из симметрии теории, тогда как второе верно всегда. Интуитивно это означает, что преобразование поля можно отменить путем перемаркировки (преобразования координат).

Просто чтобы быть уверенным, вы выступаете за $S^0_{000} = S^0_{010}$ будучи предполагаемым значением, в то время как $S^0_{000} = S^1_{111}$ всегда тривиально верно?

Что означает инвариантность действия относительно x→x′x→x′x \to x', ϕ→ϕ′ϕ→ϕ′\phi \to \phi'?

Кнчжоу

Квантовая спагеттификация

Ответы (2)

Qмеханик

Кнчжоу

Qмеханик

Ультима

Кнчжоу

Заряд Нётер для лагранжиана с производными высшего порядка

Как применить теорему Нётер

Преобразования на оболочке и вне оболочки в теореме Нётер

Почему вариация симметрии δsqδsq\delta_s q отличается от обычной вариации δqδq\delta q?

Некоторая путаница в отношении особенностей геометрической формулировки лагранжевой механики и теоремы Нётер.

Инвариантность действия против лагранжиана в теореме Нётер?

Преобразование имеет δL=0δL=0\delta \mathcal{L}=0, но δS≠0δS≠0\delta S \neq 0 и δS≠ϵ∫∂Ωd3xfδS≠ϵ∫∂Ωd3xf\delta S \neq \epsilon \int_{ \partial\Omega} d^3 xf

Прояснение некоторых простых деталей типов симметрий, связанных с теоремой Нётер.

Доказательство теоремы Нётер: как быть с преобразованиями во времени?

Что представляет собой симметрия для теоремы Нётер?