Всегда ли сумма одночастично-нередуцируемых двухточечных диаграмм является действительным числом?

Question

Всегда ли сумма одночастично-нередуцируемых двухточечных диаграмм является действительным числом?

Физика
распространитель
1pi-эффективное действие
квантовая теория поля

Попался

На странице 388 в разделе 11.6 Пескина и Шредера.
Возникает уравнение обратного пропагатора (вторая функциональная производная эффективного действия) для теории, содержащей несколько скалярных полей:

\begin{matrix} (11.105) & К_{я Дж}^{2} "=" \int г^{4} Икс е^{я п \cdot (Икс - у)} \frac{{дельта}^{2} Г}{дельта ф^{я} дельта ф^{Дж}} (Икс, у) "=" 0 \end{matrix}

$K^2_{ij} =: \int d^4x e ^{ip\cdot (x-y)}\frac{\delta^2 \Gamma}{\delta \phi^i\delta \phi^j}(x,y)=0 \tag{11.105}$ При диагонализации

К_{я Дж}^{2} "=" п_{я к} п_{Дж л} {\tilde{К}}_{к л}^{2} "=" (п \tilde{К} п^{т})_{я Дж}, п : ортогональная матрица

$K^2_{ij} = P_{ik}P_{jl}\tilde{K}^2_{kl} = (P\tilde{K}P^t)_{ij} \, , \quad P \,\text{:an orthogonal matrix}$ свойство, которое

K_{i j}^{2}

$K^2_{ij}\,$ : нужен реальный. После диагонализации

{\tilde{К}}_{я я}^{2} "=" п^{2} - м_{я 0}^{2} - М_{я}^{2} (п^{2}) я: нет суммы,

$\tilde{K}^2_{ii}=p^2-m_{i0}^2-M_i^2(p^2) \quad\quad\text{i : no sum} \, ,$ где

m_{i 0}

$m_{i0}$ голая масса

i

$i$ скалярное поле и

M_{i}^{2} (p^{2})

$M_i^2(p^2)$ представляет собой сумму одночастичных неприводимых двухточечных диаграмм.
Является

M_{i}^{2} (p^{2})

$M_i^2(p^2)$ всегда действительное число?
Это просто потому, что

{\tilde{К}}_{я я}^{2} "=" 0 \Leftrightarrow м_{я}^{2} "=" м_{я 0}^{2} - М_{я}^{2} (м_{я}^{2}) ?

$\tilde{K}^2_{ii}=0 \quad \Leftrightarrow \quad m_i^2=m_{i0}^2-M_i^2(m_i^2) \quad ?$ ,где

m_{i}

$m_i$ является физической массой.
Это вся история? Есть ли какая-то другая причина?
Спасибо.

СлучайныйПреобразование Фурье

Обратите внимание, что

M^{2} (p^{2})

$M^2(p^2)$ может приобретать ненулевую мнимую часть на пороге образования пар (ветвления), если в модели присутствуют неустойчивые частицы.

игра

@AccidentalFourierTransform Не могли бы вы также прокомментировать ответ Адама, в котором указывается, что эффективный потенциал всегда реален с точки зрения интеграла по путям после вращения Вика.

Ответы (1)

Всегда ли сумма одночастично-нередуцируемых двухточечных диаграмм является действительным числом?

Обратите внимание, что $M^2(p^2)$ может приобретать ненулевую мнимую часть на пороге образования пар (ветвления), если в модели присутствуют неустойчивые частицы.
@AccidentalFourierTransform Не могли бы вы также прокомментировать ответ Адама, в котором указывается, что эффективный потенциал всегда реален с точки зрения интеграла по путям после вращения Вика.

Адам · Answer 1

Адам

Матрица $K_{ij}$ определить по ОП - это всего лишь вторая производная эффективного потенциала (см. Вопрос о доказательстве теоремы Голдстоуна ). Эффективный потенциал является реальной функцией полей. Действительно, это преобразование Лежандра логарифма производящего функционала, которое после поворота Вика (и с использованием обозначений квантовой статистической физики) определяется как

Z "=" ⟨ е^{- β (\hat{ЧАС} + {Дж}_{я} \int_{Икс} {\hat{ф}}_{я} (Икс))} ⟩,

$Z=\langle e^{-\beta (\hat H+J_i \int_x\hat \phi_i(x))} \rangle,$ где гамильтониан при наличии (постоянных) источников является эрмитовым. Это означает, что

Z

$Z$ действителен (просто диагонализируя гамильтониан), а значит, и эффективный потенциал.

Таким образом, его вторая производная, оцениваемая по минимуму, представляет собой реальную симметричную матрицу, которую можно диагонализовать, с положительными (или нулевыми) собственными значениями.

Без вращения Вика эффективный потенциал мог бы быть чисто мнимым в зависимости от его определения, но это не меняет аргумента.

игра

Что касается комментариев AccidentalFourierTransform выше, то Z не обязательно реален? Но это необходимо в том смысле, что масса должна быть неотрицательно определенной. Можете ли вы дать больше комментариев?

Адам

@gamebm: Комментарии AccidentalFourierTransform касаются того факта, что некоторые пропагаторы могут иметь полюса в комплексной плоскости (а не только на реальной линии) из-за распада частицы на частицу другого типа. Но это происходит после поворота Вика и не меняет того факта, что матрицу можно диагонализовать

K

$K$ .

игра

Я все еще не понимаю. Производная второго порядка

Γ

$\Gamma$ связано с обратным пропагатором (уравнения (11.90) и (11.92) в учебнике), а именно,

p^{2} - m^{2} - M^{2} (p^{2})

$p^2-m^2-M^2(p^2)$ . Если полюс масс находится в комплексной плоскости,

M^{2}

$M^2$ часть выражения недействительна. Согласно вашему выводу,

Z

$Z$ ,

Γ

$\Gamma$ , а значит, вторые производные эффективного потенциала вещественны. Вот я и застрял, вторая производная должна быть реальной или нет? Я знаю, что явно что-то упустил. Не могли бы вы быть более конкретными в части «после вращения фитиля», большое спасибо!

Адам

@gamebm:

x^{2} + 1

$x^2+1$ действительно, но его нули мнимые... хотя это может быть слишком простой пример, который может вам помочь.

игра

спасибо за ответ! Я вижу, вы указываете. Но для этого конкретного вопроса, так ли это в буквальном смысле? Для резонансных состояний, согласно учебнику (около п.235, когда два пропагатора одновременно выходят на оболочку),

M^{2}

$M^2$ действительно обладают неисчезающими действительными, а также мнимыми частями. Как это соотносится с контекстом? Заранее спасибо за дальнейшие пояснения.

Адам

у вас есть точная страница / уравнение?

игра

стр.237 (7.58), выражение под ним и (7.61). На стр.232 начинаются дискуссии об "оптической теореме" в расчетах диаграммы Фейнмана (частный случай - 2-точечный iPT). В нем говорится, что когда два пропагатора могут находиться на оболочке одновременно (связано с разрезом, который проходит через две внутренние линии), существует дополнительная

i

$i$ множитель, который, возможно, порождает мнимую часть. Затем в качестве примера рассматривается случай «нестабильной частицы». Реальная часть

M^{2}

$M^2$ идет на поправку на массу, а мнимая часть дает вклад в период полураспада.

Адам

@gamebm: это происходит потому, что

p

$p$ имеет небольшую мнимую часть

i ϵ

$i\epsilon$ , чтобы получить запаздывающий пропагатор. Но пока вы работаете в евклидовом пространстве-времени (где все четко определено), собственная энергия реальна (вплоть до тривиальных факторов, вытекающих из определений потенциала и т.

игра

Я не уверен, что понимаю, малая мнимая часть в массе всегда присутствует даже для стабильных частиц, здесь книга дискуссионного резонанса, а правила Фейнмана приводят к конечному мнимому вкладу. Расчеты там явно показывают, как это происходит, когда можно разрезать два пропагатора одновременно, пожалуйста, уточните, как это можно понять в терминах интеграла в евклидовом пространстве. Мои извинения за невежество.

Адам

В евклидовом пространстве-времени все диаграммы вещественны (вплоть до тривиальных множителей, зависящих от определений и т. д.). Следовательно, мнимой части нет. Когда кого-то интересует реальное время (например, распад частицы), нужно аналитически продолжить пропагаторы, используя

i p_{0} \to p_{0} + i ϵ

$ip_0\to p_0+i\epsilon$ , так может появиться конечная мнимая часть. См. arxiv:1108.5207 раздел IV для явного вычисления + аналитического продолжения.

игра

Очень признателен за комментарии! Я это понимаю

Z

$Z$ в евклидовом пространстве действителен, поскольку интеграл по траекториям эквивалентен статистической сумме, которая является положительно определенной. Однако мое сомнение связано с другой точкой зрения, согласно комментариям AccidentalFourierTransform, которые предполагают явный расчет поправки на собственную энергию, а мнимая часть не бесконечно мала, а конечна, первое подразумевает стабильную частицу, второе соответствует резонансное состояние с конечным временем жизни. Можете ли вы прямо прокомментировать это и их отношения?

Адам

@gamebm: да, мнимая часть может быть конечной, но это так только тогда, когда вы находитесь в пространстве-времени Минковского. Если это все еще неясно, я бы предложил вам задать новый вопрос. Это было бы проще ответить, чем в комментариях здесь.

игра

готово, я разместил новый вопрос, спасибо!

игра

физика.stackexchange.com/questions/358329/…

Всегда ли сумма одночастично-нередуцируемых двухточечных диаграмм является действительным числом?

Попался

СлучайныйПреобразование Фурье

игра

Ответы (1)

Адам

игра

Адам

игра

Адам

игра

Адам

игра

Адам

игра

Адам

игра

Адам

игра

игра

Однопетлевой 1ПИ эффективного действия и одетые пропагаторы

Доказательство двухточечной функции геометрического ряда

О расчете одночастично-неприводимой двухточечной диаграммы

Зависящий от обрезания «обратный пропагатор» для перенормировки

Как вычислить квантовое эффективное действие из диаграмм Фейнмана 1PI?

Интуиция для пропагаторов со спином 1/2 и 1

Нековариантность пропагатора более высокого ранга (из учебника Вайнберга по КТП)

Представление спектра течений Дирака

Имеет ли эффективная теория один и тот же смысл в физике элементарных частиц и конденсированных сред?

Теория поля Мацубары - что означает мнимое время ττ\tau в G(τ,x)G(τ,x)G(\tau,\mathbf{x})?