Выражение оператора вакуумной проекции через числовой оператор

Я читал эту книгу, в которой автор выражает оператор вакуумной проекции$\vert 0\rangle\langle 0\vert$с точки зрения числового оператора$\hat{N}=\hat{a}^{\dagger}\hat{a}$, где$\hat{a}^{\dagger}$и$\hat{a}$— обычные операторы рождения и уничтожения соответственно. Я могу следовать большей части вывода, однако я не совсем понимаю следующий шаг:

$$:\text{exp}\bigg\lbrace\hat{a}^{\dagger}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}Z^{\ast}}\bigg\rbrace\,\vert 0\rangle\langle 0\vert\,\text{exp}\big\lbrace\hat{a}Z^{\ast}\big\rbrace :\bigg\vert_{Z^{\ast}=0} \ = \ :\text{exp}\big\lbrace\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\big\rbrace\,\vert 0\rangle\langle 0\vert : \qquad (1)$$ Как перейти из левой части в правую часть этого уравнения? Я предполагаю, что было пропущено несколько шагов, или я упустил что-то тривиальное?

Редактировать : На всякий случай, если ссылка не отображается, позвольте мне немного подробнее остановиться на деталях расчета, в частности, как можно получить уравнение. (1). Используя отношение полноты для базы собственных состояний числового оператора, мы имеем

$$1\!\!1 \ = \ \sum_{n,m=0}^{\infty}\vert n\rangle\langle m\vert\,\delta_{n,m} \ = \ \sum_{n,m=0}^{\infty}\vert n\rangle\langle m\vert\,\frac{1}{\sqrt{n!m!}}\bigg(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}Z^{\ast}}\bigg)^{n}\big(Z^{\ast}\big)^{m}\bigg\vert_{Z^{\ast}=0}\qquad (2)$$ где мы используем личность $$\frac{1}{\sqrt{n!m!}}\bigg(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}Z^{\ast}}\bigg)^{n}\big(Z^{\ast}\big)^{m}\bigg\vert_{Z^{\ast}=0} \ = \ \delta_{n,m}$$ Далее, используя это$\vert n\rangle =\frac{(\hat{a}^{\dagger})^{n}}{\sqrt{n!}}\,\vert 0\rangle$мы можем переписать (2) как $$\sum_{n,m=0}^{\infty}\frac{(\hat{a}^{\dagger})^{n}}{n!}\,\vert 0\rangle\langle 0\vert\,\frac{(\hat{a})^{m}}{m!}\bigg(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}Z^{\ast}}\bigg)^{n}\big(Z^{\ast}\big)^{m}\bigg\vert_{Z^{\ast}=0} \ = \ \sum_{n,m=0}^{\infty}\frac{(\hat{a}^{\dagger})^{n}\big(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}Z^{\ast}}\big)^{n}}{n!}\,\vert 0\rangle\langle 0\vert\,\frac{(\hat{a})^{m}\big(Z^{\ast}\big)^{m}}{m!}\bigg\vert_{Z^{\ast}=0} \\[1cm] \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\,\, = \ \text{exp}\bigg\lbrace\hat{a}^{\dagger}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}Z^{\ast}}\bigg\rbrace\,\vert 0\rangle\langle 0\vert\,\text{exp}\big\lbrace\hat{a}Z^{\ast}\big\rbrace\bigg\vert_{Z^{\ast}=0}$$ Это окончательное выражение уже имеет нормальный порядок, так как все операторы создания расположены слева от всех операторов уничтожения. Таким образом, мы можем выразить эту последнюю строку, как указано в уравнении. (1).

Я понимаю этот вывод до левой части уравнения. (1), я просто не понимаю, как автор добирается до правой части уравнения. (1).