Вывод (2.45) у Пескина и Шредера

Это очень просто, как только вы привыкнете к обозначениям. (Разве ты не ненавидишь, когда люди так говорят?)

$$[\pi (\vec{x},t), (-\nabla^{2} +m^{2})\phi (\vec{y},t)] ,$$

Здесь нужно помнить, что$\nabla^2$действует на$\phi(\vec{y},t)$только так$\pi$может пройти прямо через этот волновой оператор. Теперь, когда вы оцениваете коммутатор, вы получите что-то вроде$\phi (\vec{y},t)(-\nabla^{2} +m^{2})\delta^{(3)}(\vec x-\vec y)$, после чего вы используете «самосопряженность»$\nabla^2$(действительно, интегрирование по частям), чтобы волновой оператор действовал на первую$\phi$. Возможно, вам придется переименовать переменные впоследствии.

$$i {{\partial}\over{\partial t}}\pi=[\pi,\int d^3x\tfrac{1}{2}\pi^2+\tfrac{1}{2}\phi()\phi]$$ $$=[\pi,\int d^3x\tfrac{1}{2}\phi()\phi]$$ $$=\tfrac{1}{2}\int d^3x[\pi,\phi()\phi]$$ $$=\tfrac{1}{2}\int d^3x[\pi,\phi]()\phi+\phi[\pi,()\phi]$$ $$=\tfrac{1}{2}\int d^3x[\pi,\phi]()\phi+\phi[\pi,()]\phi+\phi()[\pi,\phi]$$ $$=\tfrac{1}{2}\int d^3x[\pi,\phi]()\phi+\{\phi\pi()\phi-\phi()\pi\phi+\phi()\pi\phi-\phi()\phi\pi\}$$ $$=\tfrac{1}{2}\int d^3x[\pi,\phi]()\phi+\{\phi\pi()\phi-\phi()\phi\pi\}$$ $$=\tfrac{1}{2}\int d^3x[\pi,\phi]()\phi+\{\pi\phi()\phi-\phi\pi()\phi\}$$ $$=\tfrac{1}{2}\int d^3x[\pi,\phi]()\phi+[\pi,\phi]()\phi$$ $$=\int d^3x[\pi,\phi]()\phi$$ $$=\int d^3x-[\phi,\pi]()\phi$$ $$=\int d^3x-i\delta()\phi$$ $$=-i()\phi$$ Я не уверен насчет средней части, но я использовал несколько свойств: (2.44), (2.20), (2.30) и, конечно, тождество коммутатора. Но я не думаю, что это правильный способ доказательства этого. (я тоже борюсь)